分析 — 待证明猜想列表

限制猜想

Stein 1967 猜想：在 $\mathbb{R}^d$ 上球面 $S^{d-1}$ 的傅立叶限制算子 $\mathcal{R}: f \mapsto \widehat{f}|_{S^{d-1}}$ 从 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 有界到 $L^q(S^{d-1})$ 当且仅当 $\tfrac{2(d+1)}{d-1} < p \le \infty$ 且 $q \le \tfrac{d-1}{d+1} p'$。

$d = 2$: Carleson–Sjölin (1972) 已证。$d \ge 3$: Tao 双线性程序、Bourgain–Guth 多线性程序、Guth 2016 借多项式分解推进。当前最好结果距最优指数仍约 $1/d^2$ 差距。与 Kakeya 猜想互推（限制 $\Rightarrow$ Kakeya）。Tao Fields '06 工作的核心方向之一。

Bochner–Riesz

$T_\delta f = \mathcal{F}^{-1}\!\bigl[(1 - |\xi|^2)_+^\delta \widehat{f}\bigr]$ 何时在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 有界？Bochner 1936 提出；猜想 $\delta > d|1/p - 1/2| - 1/2$ 是充要条件。蕴含 Stein 限制猜想。$d = 2$ 完全解决；$d = 3$ 在 Lee 2018, Wu 2020 推动后仅差细微指数；$d \ge 4$ 几乎完全开放。

Local smoothing

Sogge 1991 猜想：齐次波动方程解的时空 $L^p$ 范数比单时刻空间 $L^p$ 范数获得 $1/p$ 阶平滑。蕴含 Bochner–Riesz、限制、Kakeya 三大猜想。$\mathbb{R}^2$ 由 Guth–Wang–Zhang 2020 (Annals 2022) 借 polynomial method + decoupling 完整解决；$\mathbb{R}^d$ ($d \ge 3$) 仅 partial decoupling 结果。Wang–Hickman–Rogers 2021 给 $\mathbb{R}^3$ 的部分推进。Fields 候选方向。

多线性 Kakeya

Bennett–Carbery–Tao 2006 (Acta) 给出 $d$ 个横截方向管子族的多线性 $L^{d/(d-1)}$ 不等式，是 Guth 解决 endpoint Kakeya 的核心引理。开放：精确常数；非横截 / 退化情形；与 Stein 限制 Brascamp–Lieb 不等式的统一。Guth 2010 polynomial method 局部化版本以及 Zahl, Maldague, Hickman 后续推进了若干变体，但完整 endpoint 仍开放。

Hausdorff–Young

$\|\widehat{f}\|_{L^{p'}} \le A_p \|f\|_{L^p}$，最优 $A_p$ Babenko–Beckner 已知；Lieb 1990 证 Gauss 函数为唯一极值（在 $\mathbb{R}^d$）。开放：球面 / 紧群上端点情形；离散 Hausdorff–Young（Banach 空间几何）。

Hardy / Beurling

Hardy 1933：若 $|f(x)| \le C e^{-\pi a x^2}$、$|\widehat{f}(\xi)| \le C e^{-\pi b \xi^2}$ 且 $ab > 1$，则 $f \equiv 0$。Beurling 推广：$\int\int |f(x)| |\widehat{f}(\xi)| e^{2\pi |x \xi|} dx d\xi < \infty \Rightarrow f \equiv 0$。开放：广义 Beurling 类（$d \ge 2$，方向加权）的完整刻画；与 Schrödinger 方程时间外推不确定性 (Escauriaza–Kenig–Ponce–Vega) 的最优常数。

Invariant Subspace Problem

设 $T: H \to H$ 是可分无限维 Hilbert 空间上的有界线性算子，是否必有非平凡不变闭子空间？von Neumann 30 年代隐含问；Aronszajn–Smith '54 证紧算子情形；Lomonosov '73 推广到与紧算子交换的算子；Enflo '76、Read '85 给可分 Banach 空间反例。Hilbert 情形仍是算子理论最古老的开放问题之一，无任何主流派别接近解决。

Sz.-Nagy 相似性

Sz.-Nagy 1947：Hilbert 空间上多项式有界（$\sup_n \|p(T)\| / \|p\|_\infty < \infty$）的算子是否相似于压缩算子？Halmos 1970 推广为 polynomially bounded $\Rightarrow$ similar to contraction。Pisier 1997 在 operator space 框架下给反例（多项式有界但不相似于压缩），但其反例严格说不在经典 Hilbert 空间设定。"经典版"仍开放。Paulsen 完全有界版本是已证的对照。

WEP / LLP

Kirchberg '93 揭示：Connes 嵌入 $\Leftrightarrow$ $C^*(F_\infty) \otimes_{\min} C^*(F_\infty) = C^*(F_\infty) \otimes_{\max} C^*(F_\infty)$。MIP* = RE 2020 给 Connes 嵌入反例；Kirchberg LLP 守恒 / WEP 局部刻画的直接量子复杂度后果仍在 2024-2025 多篇论文推动中。开放：哪些可分 C*-代数同时具备 WEP 与 LLP？Effros–Haagerup 后续。

Subnormal reflexivity

Halmos 1970s 提出：每个子正规算子是 reflexive（在 strong operator topology 下其 commutant 决定 lattice of invariant subspaces）？Olin–Thomson '80 给特殊情形；Cowen–Douglas algebra 分支 reflexivity 部分知。一般子正规情形开放，是算子理论"半内部圣杯"。

Bishop reflexivity

Bishop 提问：哪些算子代数 $\mathcal{A}$ 由其 invariant subspace lattice 完全决定？这是子正规 reflexivity 的代数推广。Conway, Putinar 等给特殊代数；一般情形开放。

χ vs χ*

Voiculescu 自由概率给出两种自由熵：微状态熵 $\chi$（基于矩阵近似计数）与非微状态熵 $\chi^*$（基于自由 Fisher 信息）。$n = 1$ 单算子情形 Voiculescu 证 $\chi = \chi^*$；$n \ge 2$ 一般非交换情形是否等价完全开放，制约 II_1 因子刚性程序的多个分支。Biane–Capitaine–Guionnet, Dabrowski 等给特殊情形。

II_1 因子模空间

所有 II$_1$ 因子在 Effros–Marechal 拓扑下构成 Polish 空间。开放：哪些 II$_1$ 因子是孤立点？Goldbring–Hart 用连续模型论给部分刻画；MIP* = RE 推论使刚性程序显著扩展，但完整 stratification 仍未知。

Kadison–Singer 后续

Kadison–Singer 1959：$\ell^\infty$ 中纯态是否到 $B(\ell^2)$ 唯一扩张？阿氏情形 Marcus–Spielman–Srivastava 2013（基于实根多项式插值，2018 Knuth Award）解决，等价于 paving conjecture。开放：非阿氏 von Neumann 子代数中的 pure-state 扩张唯一性；与 Anderson paving、frame theory 的关系。

Brown 谱

Brown 1986 给非自伴算子在 II$_1$ 因子中的"广义谱测度"。开放：在非超有限因子中 Brown 谱关于算子范数的连续性、与 lattice of invariant subspaces (Haagerup–Schultz 2009) 的精细结构。涉及 Voiculescu 自由概率方法与 Sniady 的随机矩阵逼近。

II$_\infty$ 分类

Connes 1976 (Fields '82) 给阿氏 II$_1$ 因子唯一性。II$_\infty$ 因子（含半无限迹）在范数闭合 / Effros–Marechal 拓扑下的精细分类，特别是非阿氏类的 W*-equivalence 与 *-同构差异，仍是 Popa rigidity 程序后续。

×2 ×3 刚性

Furstenberg 1967：圆 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上同时被 $T_2(x) = 2x$ 与 $T_3(x) = 3x$ 不变的概率测度只有 Lebesgue 与可数原子组合？Rudolph 1990 证正熵情形（Annals）；Lindenstrauss 高维推广 Fields '10 部分相关。零熵情形完全开放，是遍历理论 "圣杯"。Host–Kra 多重遍历定理框架与之相关。

Möbius 随机化

Sarnak 2009：对每个零熵拓扑动力系统 $(X, T)$ 与连续函数 $f$，$\tfrac{1}{N}\sum_{n \le N} \mu(n) f(T^n x) \to 0$。蕴含 Chowla 高阶相关性消失。已证：循环旋转、Furstenberg–Weiss 类、horocycle flow (Bourgain–Sarnak–Ziegler)、Thue–Morse、Sturmian、零熵 nilsystems (Green–Tao 等)。一般情形开放，是数论 / 遍历交界最热门方向。与 Tao Logarithmically averaged Chowla 程序对偶。

另见：数论（Chowla 与 Sato–Tate 类）。

QUE

Rudnick–Sarnak 1994 猜想：负曲率紧 Riemann 面上 Laplace 特征函数的 $L^2$ 测度在 $\lambda \to \infty$ 收敛到 Liouville 测度。Lindenstrauss 2006 (Fields '10) 证算术情形（用 Hecke 算子）；一般负曲率紧曲面、高秩对称空间、超界面（Bowen–Margulis 测度版本）开放。

Ratner / Margulis 联合分布

Ratner 1991 解决 unipotent flow 在同质空间上轨道闭包刚性（含 Oppenheim 推论）。开放：两个或更多 unipotent factor 的联合等分布的定量速率（Margulis 程序）；与 Linnik problems、Duke–Rudnick–Sarnak 速率程序耦合。

多线性遍历

Bourgain 1990s 给多项式步长（如 $T^{n^2}$）下的 a.e. 收敛；Krause–Mirek–Tao 2022 大幅推进。开放：非多项式步长（素数、Liouville、Beatty 序列）下的 a.e. 收敛；多线性 Walsh 平均的逐点收敛。

Sinai 台球

从硬球粒子系统到 Boltzmann 方程的严格推导。Lanford '75 给短时间局部；BGSR 2014 在 2D 给 Boltzmann–Grad 极限。3D 长时间、稀薄气体与流体方程链严格化（Hilbert 第六问题部分）开放。

另见：PDE / 数学物理（Boltzmann 与 Hilbert 第六）。

Lyapunov 谱

Bochi–Viana 2002–2005：$C^1$ 通有保测自微分同胚的 Lyapunov 谱要么全为零，要么呈现 dominated splitting。开放：$C^k$ ($k \ge 2$) 通有情形（Pugh 稳定遍历性程序后续）；高维 partial hyperbolic 系统的精细谱稳定性。

稀疏轨道遍历

正熵动力系统中，沿稀疏序列 (素数、平方序列) 取轨道是否仍唯一遍历？Bourgain–Sarnak–Ziegler、Sarnak Möbius 程序的"稀疏" arm。一般情形开放，与 Sarnak 猜想耦合。

Corner Theorem 定量

$\mathbb{F}_q^n$ 或 $[N]^2$ 中无 corner 子集的最大密度。Ajtai–Szemerédi 给定性消失；Shkredov 用 Fourier–Croot–Sisask 给 polylog 上界；Kelley–Meka 2023 在 3-AP 情形突破后，corner 类比的最优速率仍开放，是 Kelley–Meka 后续最热问题。

多重遍历率

Host–Kra 2005 (Annals)、Ziegler 2007 给 $\tfrac{1}{N}\sum_n f_1(T^n x) \cdots f_k(T^{kn} x)$ 的 $L^2$ 收敛刻画。最优收敛率（与 Gowers 范数耦合）以及 Wiener–Wintner 定量推广开放，是 Tao–Ziegler 高阶 Gowers 程序的核心副线。