数论 — 待证明猜想列表

黎曼猜想 (Riemann Hypothesis)

陈述：$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ 的所有非平凡零点的实部都等于 $\tfrac12$。

$$\zeta(s) = 0 \text{ 且 } 0 < \mathrm{Re}(s) < 1 \;\Rightarrow\; \mathrm{Re}(s) = \tfrac12$$

意义：等价 $\pi(x) - \mathrm{Li}(x) = O(\sqrt{x}\log x)$；蕴含数百个数论命题。Hilbert–Pólya 期待存在 Hermite 算子谱解释。

最新：Riemann–Siegel + 计算验证；2018 Atiyah 证明未获接受。

📖 Our explore paper： 查看完整研究项目 — 主笔记 + 4 命题深入研究（~120 agent）+ 文献库（8+14+7+0 篇 PDF）。 关键发现：P4（Mertens c(σ₀) 显式下界）GO strong；P1（Keiper-Li 密度约束）GO（需 Kadiri 显式常数）；P2（Sato-Tate/DH）KILL；P3（Laguerre Lean4）GO 拆分。

韦伊类比 / 数域几何化 (Weil Analogy / Number-Field Geometrization)

陈述：完成 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 的几何化使 RH = Lefschetz 不动点公式特例。四子目标：(a) $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\times_{\mathbb{F}_1}\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ + 对角线自交、(b) 绝对 Frobenius、(c) $\zeta(s)=\prod\det(s-\Phi|H^i)^{(-1)^{i+1}}$、(d) Weil 正性 $\Rightarrow$ RH。

意义：函数域侧 Weil(1948) + Deligne(1974) 完整解决；数域侧仅局部由 Scholze perfectoid + Bhatt-Lurie prismatic 完成。Connes-Consani / Deninger / Borger Λ-rings / Arakelov 各有部分进展。

最新：Scholze diamonds (2017) + absolute prismatization (Bhatt-Lurie 2022) 给"局部 (b)+(c)"；Fargues-Scholze 几何化局部 Langlands。"全局 FF 曲线"是 Fargues 公开称的 "Holy Grail"。

📖 Our explore paper： 查看完整研究项目 — 主笔记 8 节 + 11 命题深入研究（~70 agent）+ 4 子目标精确化 + 10 路线表 + 5 题对协同 + 2 主线综合。 关键发现：P7（prismatic 指数修复 via $V_p=H^1_{\mathrm{syn}}(\mathbb{Z}_p,\mathbb{Z}_p(0))$）strong-GO，无 GAP；P5（Λ-shtuka rank 2）NO-GO via Sato-Tate universal kill；P8（Haran tensor）NO-GO via 加法缺位结构定理；P10（圣杯 functor）warn-defer。

广义黎曼猜想

将 RH 推广到所有 Dirichlet L-函数（或全体自守 L-函数 — Grand RH）。蕴含 Miller–Rabin 确定性多项式素性测试、Goldbach 弱形式（小数）等。

Goldbach 猜想

每个 $> 2$ 偶数 = 两素数。弱形式（每奇 $\ge 7$ = 三素数）由 Helfgott (2013) 证。Faber & Faber 2000–2002 设 \$1M 限期奖未被领。

📖 Our explore paper #1（v1, 强猜想总论）： 查看完整研究项目 — 15 节主笔记 + 5 个深入命题（Template 2 v2 流水线 ~62 agent）+ 9 篇 2024-2026 arXiv 文献综合 + 多 agent 模板。 关键发现：5 命题中 0 个原版 PASS、4 个 KILL+revised、1 个 GO position paper（命题 5 Sarnak 弱化版 ML 随机），与 RECIPE 预测高度一致；流水线最大价值是系统性证伪乐观候选 + 提炼可写 position paper 形式。

📖 Our explore paper #2（v1.3, H-L 渐近 r(n) + 显式误差）： 查看完整研究项目 — Path 2 / N=1 smoke test, ~26 agent, Mode A standard。 关键发现：判定 GO-revision；3 falsifiable conjectures（C3 𝔖-条件去偏 CLT, σ²_D∈[0.52,0.78]; C1 R(n)=1+2.41/log n; C2 V(X) α≈2.40）+ 758-sample 𝔖-stratified dataset + FFT-autocorr V(X) 工具 + 三方张力综述（Mut16 ⟂ Cramér ≠ H-L; GS20/GT22 ≠ LZ12 真基准; Mikawa 7/12 = HB 12-th moment deep barrier）。无新定理；研究 note 候选投 Experimental Mathematics / Integers。

孪生素数猜想

存在无穷对 $(p, p+2)$。Zhang Yitang (2013) 证存在无穷对间隔 $< 7 \times 10^7$；Maynard 改进至 600，Polymath 8 至 246（GRH 下 12，广义 EH 下 6）。

de Polignac 猜想

对每个偶 $2k$，存在无穷对相邻素数差 $= 2k$。Zhang 工作证明"存在某个 $\le 7 \times 10^7$ 的 $2k$ 满足"，但对特定 $2k$ 仍未知。

📖 Our explore paper（Maier-single-bin Cesàro mean + reflection symmetry）： 查看完整研究项目 — Path 3 / N=3 / marathon, ~132 agent, Mode A。 主笔记 §13 含 15 角度 → 7 题对 → 3 轴 → 3 final propositions（F1/F2/F3）。 F1 (Maier-single-bin) GO-revision → paper（Experimental Math / INTEGERS tier，含 ~30 页 LaTeX）；F2 (parity-aware HB×Maynard) KILL-with-rerank, conditional sub-results 折入 F1 §6；F3 (consecutive additive energy) KILL-fold, framing 折入 F1 §3, §9, §10。 关键发现：$\mathfrak{S}$ reflection symmetry $\mathfrak{S}(\{0,j,k\})=\mathfrak{S}(\{0,k-j,k\})$（H-L 文献未显式陈述）+ Lemma P6-2: $E_k(x) = 1 - c_k/\log x + O(1/\log^2 x)$ + a(k) k=2..24 新序列 [1,1,3,4,4,14,13,16,48,55,50,173] + c_k 高精度表 (P=10^7) + $\rho_k(x)\sim\mathfrak{S}(k)\cdot \mathrm{li}_2(x)\cdot E_k(x)$ 实测残差 $-3.8\times 10^{-5}$；3 falsifiable conjectures（$\alpha_k=2-c_k$ R²≥0.997；$\beta_{\rm crit}\sim 2.90\log x/\log\log x$；single-bin Maier 障碍消失）；reviewer 独立复现 12/12 a(k) + 10/10 c_k + 5 反射对全过。

Hardy–Littlewood $k$-元组猜想

给出素数 $k$-元组 $(n+h_1, \ldots, n+h_k)$ 同时为素的渐近密度公式。圆法启发，数值精确符合，无证明。

📖 Our explore paper（k=2 binary 情形 — Goldbach r(n) 渐近）： 查看完整研究项目 — Path 2 / N=1 smoke test, ~26 agent, Mode A standard。 把 H-L 圆法对 $k=2$ 情形（即 Goldbach $r(n) \sim 2 C_2 \mathfrak{S}(n) n / (\log n)^2$）的渐近主项 + 显式误差做数值/解析双轨实证。 关键发现：判定 GO-revision；3 falsifiable conjectures（C3 $\mathfrak{S}$-条件去偏 CLT, $\sigma^2_D \in [0.52, 0.78]$；C1 $R(n)=1+2.41/\log n$；C2 $V(X) \alpha \approx 2.40$）+ 758-sample $\mathfrak{S}$-stratified dataset + FFT-autocorr $V(X)$ 工具 + 三方张力综述（Mut16 ⟂ Cramér ≠ H-L; GS20/GT22 ≠ LZ12 真基准; Mikawa 7/12 = HB 12-th moment deep barrier）。无新定理；研究 note 候选投 Experimental Mathematics / Integers。

Cramér 猜想

素数间隔 $g_n = O(\log^2 p_n)$。当前最佳无条件结果 $g_n \ll p_n^{0.525}$ (Baker–Harman–Pintz 2001)。

Legendre 猜想

每个 $n \ge 1$，存在素数 $p$ 使 $n^2 < p < (n+1)^2$。Hilbert 第八问题之一；蕴含较强素数分布信息。

📖 Our explore paper： 查看完整研究项目 — 15 节主笔记 + 4 命题深入研究（~130 agent）+ 数值验证代码。 关键发现：函数域 $\mathbb{F}_q[T]$ 中 Legendre 类比已几乎可证（命题 4，Weil 路线，3 步达发表）；稀疏序列 $\{n^2\}$ 上的多项式型 EH 是真正文献空白（命题 3，GO）；Guth-Maynard 2024 后过渡带 gap 仍为 $n^{0.231}$ 无界量级。

Andrica 猜想

$\sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} < 1$ 对所有 $n$ 成立。最大差值出现在 $n=4$：$\sqrt{11} - \sqrt{7} \approx 0.67$。验证至极大；蕴含 Legendre 猜想。

Brocard 猜想

相邻两素数的平方之间至少 4 个素数（$n \ge 2$）。可由 Legendre 猜想推出。

Firoozbakht 猜想

序列 $p_n^{1/n}$ 严格单调递减。Kourbatov 等指出与 Cramér–Granville 启发式存在张力；可能在大数处失败。

Schanuel 猜想

$z_1, \ldots, z_n$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关 $\Rightarrow$ $\mathbb{Q}(z_1, \ldots, z_n, e^{z_1}, \ldots, e^{z_n})$ 的超越次数 $\ge n$。蕴含 $e + \pi$、$e \cdot \pi$ 超越等。

abc 猜想

对 $\varepsilon > 0$，仅有限对互素 $(a,b,c)$ 满足 $a+b=c$ 且 $c > \mathrm{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$。蕴含 FLT (大指数)、Mordell、Roth。Mochizuki IUT (2012) 在 PRIMS 发表，Scholze–Stix 指出关键漏洞。

Beal 猜想

$A^x + B^y = C^z$ ($x,y,z > 2$) $\Rightarrow$ $A, B, C$ 有公因子。富商 Andrew Beal 设 \$1M 经 AMS 托管。

📖 Our explore paper：查看完整研究项目 — Template 1 (10 角度) + Template 2 v2 × 3 命题 (SP-1' GO-revision-strong / SP-3 L1 KILL / SP-2' L3 KILL) + Template 3 (1 篇 ready-to-submit JTNB paper, 18 pp PDF) + Stage 6 Loop C full audit。累计 ~150 agent (Opus 4.7)。关键发现：5 个 specific signatures $D = \{(5,5,7), (5,5,11), (5,5,13), (3,7,11), (3,7,13)\}$ 的 unconditional 无解 + 自写 $(3,7,p)$ 2-adic conductor lemma。

BSD

$E/\mathbb{Q}$ 的 Mordell–Weil 秩 $= \mathrm{ord}_{s=1} L(E, s)$。Gross–Zagier–Kolyvagin 解秩 $\le 1$；Bhargava–Skinner–Zhang 平均结果证 $\ge 66\%$ 满足。

Hall 猜想

$|x^3 - y^2| > C \cdot |x|^{1/2 - \varepsilon}$（强形式）；abc 蕴含弱化 $|x^3 - y^2| \gg x^{1/2 - \varepsilon}$。

Pillai 猜想

对任意 $k \ge 1$，方程 $|a^x - b^y| = k$ 仅有限多解 $(a, b, x, y)$。Catalan 即 $k = 1, b = a+1$：仅 $3^2 - 2^3 = 1$（Mihăilescu 2002）。一般 $k$ 开放。

Goormaghtigh 猜想

$$\frac{x^m-1}{x-1} = \frac{y^n-1}{y-1}, \quad x>y>1,\ m,n>2$$ 仅有解 $31 = (11111)_2 = (111)_5$ 与 $8191 = (1111111111111)_2 = (111)_{90}$。

Brocard 问题

$n! + 1 = m^2$ 是否还有解（除 $4!+1 = 25$, $5!+1 = 121$, $7!+1 = 5041$）？验证至 $n < 10^9$。

Erdős–Moser 方程

除平凡 $1 + 2 = 3$，无其他正整数解。Moser 证若有解 $m > 10^{106}$；Gallot 等推至 $m > 10^{10^9}$。

Mersenne 素数无穷性

形如 $2^p - 1$ 的素数无穷多。Lenstra–Pomerance–Wagstaff 启发式预测密度 $e^{\gamma} / \log 2$。EFF 对 $\ge 10^8$ 位首奖 \$150k。

📖 Our explore paper： 查看完整研究项目 — 15 节主笔记 + 5 个深入命题（Template 2 v2 流水线 ~75 agent）+ 17 篇 arXiv 文献 + 多 agent 模板。 关键发现：5 候选命题中只有命题 5（position paper）真可写。

Fermat 素数

$F_n = 2^{2^n} + 1$。Fermat 猜想都是素数，Euler 证 $F_5$ 合数。普遍信念：仅 5 个 Fermat 素数。

Sierpiński 数

最小 $k$ 使 $k \cdot 2^n + 1$ 对所有 $n$ 合数：候选 $78557$ 已证；待排除最小者 $21181$ 等。Riesel 问题对偶（$k \cdot 2^n - 1$）。

Catalan–Dickson 猜想

aliquot 序列 s(n), s(s(n)), … 是否总收敛到 0 或循环？最小未决起点 276（Lehmer 五雄）。

奇完美数

$\sigma(n) = 2n$ 且 $n$ 奇。若存在，必满足极多约束（Ochem–Rao 2012：$n > 10^{1500}$）。

Erdős–Straus 猜想

$\dfrac{4}{n} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}$（$n \ge 2$，$x, y, z$ 正整数）。约化为 $\bmod 840$ 的余类问题，留下部分余类未决。

Lonely Runner Conjecture

$n$ 跑者环形跑道两两速度不同 $\Rightarrow$ 每人某时刻距其他人 $\ge 1/n$。Tao 2017 给出弱形式更优界。

Lehmer 总数函数问题

是否存在合数 $n$ 使 $\varphi(n)$ 整除 $n-1$？素数显然满足；问题问反向。Cohen–Hagis 等给出强约束。

Carmichael 猜想

对每个 $n$，$\varphi(x) = n$ 的解数 $\ne 1$（即每个 $\varphi$ 值至少被两个 $x$ 取得）。Ford 1999 证若反例则极大。

Lehmer 猜想

是否存在常数 $c > 0$ 使所有非分圆整系数多项式 $P$ 的 Mahler 测度 $M(P) \ge 1 + c$？最小已知值仍是 Lehmer 1933 的 $x^{10} + x^9 - x^7 - x^6 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1$。Smyth、Borwein 等多次冲击未破。

Schinzel 假设 H

互不相同的不可约 ℤ[x] 多项式 f₁,…,f_k 若无"局部障碍"，则存在无穷 n 使全为素数。是 Bateman–Horn 的定性版本。

Bunyakovsky 猜想

Schinzel H 的单多项式版：不可约 f ∈ ℤ[x] 满 gcd 条件 ⇒ f(n) 取无穷素值。n²+1 情形即 Landau 第 4 问题。

Bateman–Horn 猜想

给出 Schinzel H 中素值出现的渐近密度公式（带 singular series）。

Vinogradov 最小二次非剩余

素 $p$ 的最小非二次剩余 $n_p = O(p^{\varepsilon})$。GRH 蕴含 $O((\log p)^2)$。Burgess 界 $O(p^{1/(4\sqrt{e}) + \varepsilon})$ 是最佳无条件。

Kummer–Vandiver 猜想

p ∤ h(ℚ(ζ_p)⁺)（最大实子域类数）。多数专家持怀疑态度——可能在极大 p 失败，但不可能用计算反驳。

Greenberg 猜想

实数代数数域 K 的圆分 ℤ_p 扩张的 Iwasawa 不变量 λ = μ = 0。是 Iwasawa 理论核心待解问题。

Stark 猜想

关于 Artin L-函数在 s=0 处的前导项的代数性预测。蕴含 Hilbert 第十二问题（显式类域论）的一部分。

Brumer–Stark 猜想

关于阿贝尔 L-函数特殊值与单位的关系。Dasgupta–Kakde 2023 用 Eisenstein 同余证明远离 2 的部分。

Vojta 猜想

提供 Mordell、abc、Lang 等的统一框架（基于 Nevanlinna 理论类比）。被认为是 21 世纪 Diophantine 几何的中心目标。

Bombieri–Lang 猜想

X/K 一般型 ⇒ X(K) 不 Zariski 稠密。高维 Mordell 类比；蕴含 Faltings 定理。

Lang 高度猜想

E/K 椭圆曲线，非挠点 P 的规范高度 ĥ(P) ≥ c·h(E)（c 仅依赖 K）。

Manin 猜想

Fano 簇有理点计数：$N(B) \sim c \cdot B \cdot (\log B)^{\rho-1}$。Salberger、Browning、Heath-Brown 等推进；反例（Batyrev–Tschinkel）已修正陈述。

$\zeta$(奇) 无理性

Apéry 1978 证 $\zeta(3)$ 无理；Rivoal–Ball 2001 证 $\zeta(2k+1)$ 中无穷多无理；Zudilin 证 $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 至少一个无理。具体哪个未知。

$\gamma$ 的无理性

Euler 常数 $\gamma = \lim_{n \to \infty} (H_n - \log n)$。连无理性都未证。若 $\gamma = p/q$ 则 $q > 10^{242080}$ (Sondow 2003)。

Catalan 常数

$G = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \approx 0.9159$。出现在组合恒等式、$\zeta(2)$ 类比；无理性未证。

Sato–Tate 猜想

椭圆曲线 Frobenius 角分布服从半圆律（Taylor–Harris–Shepherd-Barron–Clozel 2006–2010）。高维 abelian 簇 / 自守表示推广开放。

Sha 有限性

椭圆曲线 E 的 Tate–Shafarevich 群 Ш(E) 是否总有限。秩 0、1 时已知（Rubin、Kolyvagin）；高秩开放。

最小 Salem 数

最小 Salem 数是否 = Lehmer 多项式根 ≈ 1.17628？广义化的 Lehmer Mahler 测度问题的几何版本。

Casas-Alvero 猜想

p(x) ∈ ℂ[x] degree n, 若每个 p^(k) (k=1..n−1) 与 p 有公根 ⇒ p = c(x−a)ⁿ。低 degree 已证；一般开放。

Cassels–Tate 配对

Ш(E) 上的反对称配对，其非退化性等价 Ш 有限部分；与 BSD 紧密相连。

Mordell–Lang（正特征）

正特征函数域上的 Mordell–Lang 一般版本仍有未解部分（涉及 isotrivial 与 non-isotrivial 区分）。

Greenberg p-adic 主猜想

非 ordinary 情形 / 高维 motive 的 Iwasawa 主猜想推广，仍待解。

Eisenstein 系数

关于 E₂(τ), E₄(τ), E₆(τ) 在代数 τ 处取值的代数无关性，Nesterenko 部分证明（如 π, eπ, Γ(1/4) 在 ℚ 上代数无关）。

Erdős–Mollin–Walsh 猜想

不存在三个连续正整数都是 powerful（每个素因子至少出现 2 次）。abc 蕴含本猜想。

Selberg 1/4 猜想

SL(2,ℤ) Laplacian 在尖点形式上最小特征值 λ₁ ≥ 1/4（无例外特征值）。等价某些 GL(2) Ramanujan 估计。

Generalized Ramanujan

Cuspidal 自守表示的局部分量是 tempered。Deligne 证经典 Ramanujan；自守 GL(n) 一般开放。

素因子个数的精细分布

Erdős–Kac 给出 ω(n) ≈ log log n 的正态分布；其精细误差（远尾、大 deviation）仍是开放问题。

Iwasawa μ 不变量

对一般 ℤ_p 扩张，μ = 0 是否总成立？非分圆情形开放，且预期不总为 0。

Wieferich 素数

满足 $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2}$ 的素 $p$。是否无穷？是否有无穷多非 Wieferich 素？后者在 abc 下成立。

素数计数的反向问题

例如：能否给出 π(x) 与 Li(x) 的"首次跨越"显式上界？Skewes 数已不断改进，但精确刻画仍开放。