PDE / 数学物理 — 待证明猜想列表

3D Navier–Stokes

$\mathbb{R}^3$ 上不可压缩 N–S 方程是否存在全局光滑解？

$$\partial_t u + (u \cdot \nabla) u = -\nabla p + \nu \Delta u + f, \quad \nabla \cdot u = 0$$

Buckmaster–Vicol (2019) 弱解非唯一；Tao (2016) 构造 averaged N–S 爆破；强解光滑性仍开放。

Yang–Mills 质量间隙

$\mathbb{R}^4$ 上量子 Yang–Mills 理论的严格数学构造及 $\Delta > 0$ 间隙证明。格点近似数值符合，连续极限缺严格。

3D Euler

3D 无黏性 Euler 是否对光滑初值整体存在？Elgindi 2019、Chen–Hou 2022 提供 $C^{1,\alpha}$ 与计算机辅助爆破证据；$C^\infty$ 初值开放。

2D Euler 唯一性

有界 vorticity Yudovich 给出唯一；Vishik 反驳 $L^p$ 唯一性（带外力）；无外力 $L^p$ 唯一性仍开放。

Boltzmann 方程

对一般初值的整体存在性与正则性。DiPerna–Lions 弱解存在；大数据强解仍开放。Hilbert 第六问题之一部分。

Hilbert 第六

"物理学公理化"。Bodineau–Gallagher–Saint-Raymond 2014 在 2D 给出 Boltzmann–Grad 限的严格推导。Liouville → Boltzmann → 流体的全链条仍开放。

Hilbert 16(b)

$n$ 次多项式平面向量场极限环数 $H(n)$ 上界。已知 $H(2) \ge 4$；Ilyashenko–Écalle 证单向量场极限环数有限。

Anderson 局域化

3D 随机 Schrödinger 算子在弱无序下是否存在扩展态相变？Fröhlich–Spencer 多尺度分析证大无序 / 高能局域化；弱无序 / 中能开放。

BEC 数学严格性

玻色子系统在低密度高粒子数下凝聚态严格证明。Lieb–Seiringer 给出 BEC ground state；动力学（Gross–Pitaevskii）部分由 Erdős–Schlein–Yau 等证。

Spectral Gap (general)

给定有限范围相互作用的局部量子哈密顿，谱间隙存在性是否可判定？Cubitt–Pérez-García–Wolf 证一般情形 undecidable，特定情形仍待研究。

谱间隙判定

已知一般 2D lattice Hamiltonian 的谱间隙存在性是 undecidable；但具体物理模型（如反铁磁 Heisenberg、AKLT 推广）的间隙仍开放。

Kolmogorov 谱

3D 湍流能量谱 $E(k) \propto k^{-5/3}$ 的严格数学推导。Onsager 猜想（dissipative anomaly）部分由 Isett 2018 证（$C^{1/3-\varepsilon}$ 弱解能量不守恒）。

Onsager 猜想

Euler 弱解 $C^{0, h}$ 当 $h > 1/3$ 守恒能量；$h < 1/3$ 可耗散。Isett 完成 $C^{0, 1/3 - \varepsilon}$ 反例（基于 De Lellis–Székelyhidi convex integration）。多分形版本仍开放。

3D MHD 正则性

理想 MHD / 黏性 MHD 在 3D 是否有限时间爆破。2D 黏性 MHD 已知光滑全局；3D 开放。

SQG 正则性

临界耗散 SQG 由 Caffarelli–Vasseur、Kiselev–Nazarov–Volberg 2007 证全局光滑；超临界与无耗散开放。

临界 NLS 散射

能量临界 NLS（如 quintic 3D）的全局存在和散射由 Colliander–Keel–Staffilani–Takaoka–Tao 等证；质量临界、超临界仍部分开放。

$\varphi^4_4$

普遍信念 $\varphi^4$ in 4D 仅有平凡（高斯）连续极限；Aizenman–Duminil-Copin 2021 严格证 $d \ge 4$ lattice $\varphi^4$ 平凡。Yang–Mills 等更复杂模型仍未构造。

液晶能量极小化

Landau–de Gennes Q-tensor 模型中缺陷的精细几何与稳定性，部分高维情形开放。

量子引力

4D 时空上的量子引力理论的严格数学定义。Loop QG、CDT、AdS/CFT 各提供框架；严格构造尚远。

Kac 模型

Kac 提出可解粒子系统模拟 Boltzmann；多体—平均场极限的严格传播率与 spectral gap 仍部分开放。

3D Ising 临界

3D Ising 模型的临界指数与 conformal bootstrap 数值精确符合，但严格证明缺。2D 由 Smirnov–Schramm SLE 程序解决。

KAM 临界正则性

KAM 定理在 C^k 类下的最优临界（Mather, Herman）的精确判定。

Arnold 扩散

近可积哈密顿系统的"通用"扰动是否总能导致大范围动作变量扩散？Mather, Cheng–Yan, Bernard–Kaloshin 部分证特殊系统。