概率论 / 随机过程 — 待证明猜想列表

KPZ 类与 KPZ 方程

Kardar–Parisi–Zhang (1986) 方程 $\partial_t h = \nu \Delta h + \tfrac{\lambda}{2}|\nabla h|^2 + \xi$ 描述随机界面增长。猜想 1+1 维的所有"非线性 + 噪声 + 平滑"增长过程在大尺度下收敛到同一类（KPZ 类），具有 $t^{1/3}$ 涨落与 Tracy–Widom 边缘分布。

已证：可解模型（ASEP、TASEP、log-Gamma 配比、随机六顶点）；Hairer 2014 用正则结构理论给出 KPZ 方程的强解。

开放：一般 (非可解) 增长模型的普适性；高维 ($d \ge 2$) 的 KPZ-vs-EW 相变；无穷温度极限。

KPZ Fixed Point

KPZ 类的尺度不变极限"定向地貌"(directed landscape) 由 Dauvergne–Ortmann–Virág 2018、Matetski–Quastel–Remenik 2021 严格构造。开放：哪些起始模型确实收敛？相关类的多点统计（路径性质、能量泛函）。

SLE 程序

Schramm 1999 的 Stochastic Loewner Evolution 把 2D 临界模型的尺度极限刻画为 $SLE_\kappa$。Smirnov 证 critical percolation ($\kappa = 6$, Fields '10)、Ising 自旋簇 ($\kappa = 3$)；Lawler–Schramm–Werner 证 UST、loop-erased RW；Duminil-Copin 拓展到 Ising、FK ($q$ 部分情形, Fields '22)。

开放：Random Cluster $q \in (0, 4)$ 的 $SLE_{\kappa(q)}$ 收敛；自避走 (SAW) 收敛到 $SLE_{8/3}$；$O(n)$ 模型；高维 ($d \ge 3$) 推广（如何"共形"？）。

SAW 尺度极限

Lawler–Schramm–Werner 猜想 2D 自避走在尺度极限下收敛到 $SLE_{8/3}$。Duminil-Copin–Smirnov 2010 证六边形格连接常数 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$；尺度极限本身仍是 2D 概率论圣杯之一。$d \ge 5$ Hara–Slade 证收敛到布朗运动；$d = 4$ 对数修正仍开放。

LQG 度量

Liouville Quantum Gravity 给 2D 随机几何建立度量空间结构。Miller–Sheffield、Gwynne–Miller 程序对 $\gamma \in (0, 2)$ 在 2020-2024 间逐步完成；临界 $\gamma = 2$ 与超临界 ($\gamma > 2$) 开放；与 Brownian map 的等价性仅 $\gamma = \sqrt{8/3}$ 已知。

DOZZ

Dorn–Otto–Zamolodchikov–Zamolodchikov 公式给出 Liouville CFT 的 3 点结构常数。Kupiainen–Rhodes–Vargas 2017 概率证明 (高斯乘性混沌方法)；4 点及以上的共形 bootstrap、与 Riemann 曲面亏格 $\ge 1$ 推广开放。

Brownian Map

Le Gall (2013)、Miermont (2013) 证均匀 2$n$-边形四角剖分 Gromov–Hausdorff 收敛到布朗地图。猜想：任何亚临界 (subcritical) 随机平面图族收敛到同一极限。带 Ising / FK / O(n) 装饰、高亏格、高维 ($d \ge 3$) 推广均开放。

二聚体高度函数

Kenyon 2001 证棋盘格二聚体高度函数尺度极限是 GFF；非二部、各向异性、准晶面板、与 SLE 耦合的几何描述开放。

3D Ising 临界

3D Ising 临界指数 ($\eta \approx 0.036$, $\nu \approx 0.630$) 由 conformal bootstrap (Rychkov 等) 数值精确至 $10^{-6}$；严格证明缺。在 PDE / 统计物理页有镜像。

另见：PDE / 数学物理。

高维渗流

$d \ge 11$ Hara–Slade lace expansion 给出平均场临界指数 ($\gamma = 1$, $\eta = 0$, $\nu = 1/2$)；上临界维数 $d_c$ 猜为 6；$d = 3, 4, 5$ 临界指数存在性 / 数值仍未证。$d = 2$ Smirnov 由 SLE_6 给出；$d = 7, 8, 9, 10$ 平均场 / 非平均场过渡完全开放。

边缘普适性

Erdős–Schlein–Yau 与 Tao–Vu 完成 Wigner（满足前 4 阶矩匹配）边缘 Tracy–Widom 极限；稀疏随机正则图的边谱仅在大度数上界可控；非平均场（带状、邻接到 Anderson 局域化阈值）的 Tracy–Widom-vs-Poisson 跳变开放。一般 $\beta$-ensemble (非整数 $\beta$) 边缘极限部分由 Bourgade–Erdős–Yau 证。

3D 随机 Schrödinger

$-\Delta + V_\omega$ 在 $\mathbb{Z}^3$ 上弱无序时是否存在扩展态相 (mobility edge)？Fröhlich–Spencer 证大无序 / 高能 localized；中间区间几乎完全开放。本身是随机算子 / 随机谱理论问题，传统归 PDE，但本质是概率。

另见：PDE / 数学物理。

SK 自旋玻璃

SK 模型自由能由 Parisi 公式 (Nobel '21 物理) 给出；Talagrand 严格证下界、Guerra 证上界、Panchenko 证 Parisi ultrametricity。开放：$0 < T < T_c$ 处吉布斯测度的几何（Ruelle 概率级联的精确收敛速率、混沌、温度链 / 解耦在有限尺寸的定量描述）。多数物理学家相信的全 RSB 等价定式仍未严格化。

k-SAT 阈值

Mézard–Parisi–Zecchina 用空腔法预测 $k$-SAT 在 $\alpha_c(k)$ 处发生 sat/unsat 相变。Ding–Sly–Sun 2015 证 $k$ 充分大时阈值精确等于空腔法预测；$k = 3$（最经典 NP-hard 实例分布）仍只有 $3.52 < \alpha_c(3) < 4.27$ 上下界。条件熵 / 复制对称破缺与 NP-hardness 相变是否一致开放。

FPP 极限形状

$\mathbb{Z}^d$ 上 i.i.d. 边权 first-passage percolation 极限形状 $B_\mu$ 由 Cox–Durrett (1981) 证存在；其严格凸性、是否为多面体、顶点 / 平面段集合的几何完全未知。预测：典型权重下 $B_\mu$ 严格凸光滑；尚无任意非平凡反例。涨落指数预测为 KPZ 类的 $1/3$ ($d = 2$)；目前最好上界仅 $1/2 - o(1)$。

LPP 普适性

Johansson 1999 证 geometric LPP 边缘 Tracy–Widom；Borodin–Corwin 证 log-Gamma；Dauvergne–Virág 给定向地貌；一般连续权重的 KPZ 类涨落仅在很弱意义下证明 ($t^{1/3}$ 涨落上下界差 $1/4$ 数量级)。

unimodular ≠ sofic

Aldous–Lyons (2007) 猜想：每个 unimodular 随机图都是 sofic（有限图渐近极限）。2024 Bowen 等用 MIP* = RE 推论给出反例。开放：哪类 unimodular 图是 sofic？sofic 群的可逼近性等价定式现在的"正确"结构定理是什么？该领域随后两年成了概率 + 群论 + 量子复杂性的热点。

Cutoff 现象

Aldous–Diaconis 提出：何时混合时间 $t_{\text{mix}}(\varepsilon)$ 对所有 $\varepsilon$ 几乎相同（"截断"）？Lubetzky–Sly 证随机正则图的 cutoff、Salez 等推广到反向问题。一般可逆链的产品/谱结构充要条件仍开放，是现代 Markov 链理论"圣杯"。

3D Glauber

$L \times L \times L$ 立方上 Ising Glauber 动力学，$T < T_c$ 时混合时间是否 $\exp(c L^2)$？2D Martinelli–Toninelli 与 Lubetzky–Sly 完整解决；3D 因表面张力的几何复杂度仍开放。

RWRE 弹道性

$\mathbb{Z}^d$ ($d \ge 2$) 上 i.i.d. 随机环境中 RW，是否一定有定向漂移？Kalikow's 0-1 律、Sznitman 的 (T) 条件给充分条件；零漂移情形预测为弥散 (CLT) 但 $d = 2$ 仅在很特殊环境（balanced）已证。这是 1980s 起 Solomon–Spitzer 留下的核心问题。

随机均化

$-\nabla \cdot a(x/\varepsilon, \omega) \nabla u^\varepsilon = f$ 在 $\varepsilon \to 0$ 极限下收敛到常系数 PDE，关键问题是定量速率。Gloria–Otto 给 $L^2$ 速率；Armstrong–Kuusi–Mourrat 写出大书《Quantitative Stochastic Homogenization and Large-Scale Regularity》；最优常数、二阶涨落 CLT、大偏差原理开放。

ERRW

Diaconis 的 ERRW：每经过一条边权增加。Sabot–Tarrès 揭示其与超对称双曲西格玛模型 ($H^{2|2}$) 的 Disertori–Spencer–Zirnbauer 等价；据此证 $d \ge 3$ 在强 / 弱强化下分别瞬时 / 复发，但中间相变临界值未知。

GMC 临界

Kahane 高斯乘性混沌 $\mu_\gamma = e^{\gamma X - \tfrac{\gamma^2}{2} \mathbb{E}[X^2]} \, dx$ 对 $\gamma < \gamma_c = 2$（在 $d = 2$）为非平凡随机测度。Duplantier–Rhodes–Sheffield–Vargas 给 $\gamma = 2$ 临界 derivative martingale 构造；超临界（"frozen"）相的几何刻画与 LQG metric 结合开放。

Bootstrap 严格化

Polyakov 的共形 bootstrap 在 2D Ising、3D Ising 给出极精确临界指数预测；2D 部分指数由 Smirnov–Camia–Newman 通过 SLE 严格证明，但"作为 bootstrap 算法严格收敛"的形式化仍缺。该方向是 Rychkov, Simmons-Duffin 等概率—物理交叉热点。

Permutations Mixing

Aldous spectral gap 猜想由 Caputo–Liggett–Richthammer 2010 完整证明（互换链 = 一阶代表的谱间隙）。后续：偏置 random transposition、generalized riffle shuffle、$S_n$ 上一般生成集合的 cutoff 常数（Bayer–Diaconis 的 $\tfrac{3}{2} \log_2 n$ 推广）开放。

Φ⁴_3 不变测度

Hairer (2014, regularity structures, Fields '14) 与 Catellier–Chouk (paracontrolled) 构造 $\partial_t \phi = \Delta \phi - \phi^3 + \infty \phi + \xi$ 在 3D 的局部强解；Hairer–Mattingly、Gubinelli–Hofmanová、Albeverio–Kawabi–Röckner 等给整体解。开放：解过程的不变测度是否 Markov-唯一地等于 Glimm–Jaffe 时代构造的 Euclidean Φ⁴_3 量子场论 Gibbs 测度？该问题与 4D Φ⁴ trivality（Aizenman–Duminil-Copin 2021 已解格点情形）形成对比，是构造性 QFT 与 SPDE 交界处的圣杯。

随机 NS 正则化效应

确定型 3D Navier–Stokes 已知存在弱解非唯一性 (Buckmaster–Vicol 2019)。问题：加性 / 乘性噪声是否能"选出"唯一概率强解？Flandoli–Romito 给 Markov selection 弱解；Hofmanová–Zhu–Zhu 2024、Yamazaki 2025 等推进 weak-strong 一致性与凸积分构造的反例。整体强唯一性仍开放，且与确定型 Navier–Stokes 千禧问题结构性相关。

另见：PDE / 数学物理（Navier–Stokes 光滑性条目）。

McKean–Vlasov

$N$-粒子相互作用扩散 $dX^{i,N}_t = b\!\bigl(X^{i,N}_t, \mu^N_t\bigr) dt + dW^i_t$，$\mu^N_t = \tfrac{1}{N}\sum_j \delta_{X^{j,N}_t}$，在 $N \to \infty$ 下收敛到 McKean (1956) 极限的非线性 SDE。Sznitman、Méléard 给 propagation of chaos 在 Wasserstein 距离下 $O(N^{-1/2})$ 上界。开放：最优常数；2D Coulomb / Riesz 等奇异核（Bresch–Jabin–Wang 程序）；Lasry–Lions mean-field game 中的耦合速率。

2D Yang–Mills 测度

Driver (1989)、Sengupta、Lévy 用随机 holonomy 构造 2D Yang–Mills 在紧曲面上 Wilson loop 期望；Chevyrev (2019)、Cao–Chandra–Chevyrev–Hairer 程序通过 stochastic quantization (Langevin SPDE) 给定义连续 2D YM 测度。开放：与 lattice 构造的等价性、规范不变意义下完整测度（不仅 Wilson loops）的存在唯一、3D / 4D 推广。是 Yang–Mills 千禧问题的低维"已部分解"对照面。

另见：PDE / 数学物理（4D Yang–Mills 千禧问题）。

奇异 SDE 临界

$dX_t = b(t, X_t) dt + dW_t$，$b \in L^p_t L^q_x$。Krylov–Röckner (2005) 证次临界尺度 $\tfrac{2}{p} + \tfrac{d}{q} < 1$ 下强存在唯一；Beck–Flandoli–Gubinelli–Maurelli (2019) 在 $b \in L^\infty_t \mathrm{BMO}_x$ 推进。开放：临界 $\tfrac{2}{p} + \tfrac{d}{q} = 1$ 等号情形（包括 div-free $b \in L^\infty_t L^d_x$）的强唯一性；Coulomb / Biot–Savart 类核的精细唯一性。与 ODE 中 DiPerna–Lions / Ambrosio 程序构成"概率 vs 确定"对照。