应用数学 · 数值分析 · 特殊函数 · 构造性数学 · 历史 niche
| 名称 | 子领域 | 提出时间 | 难度 | 关注度 | 奖金 | 当前进展 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A. 应用数学 / 跨学科 | ||||||
| ▶Arrow–Debreu 计算复杂度严格化 | 数学经济 | 1954 / 2000s | ★★★ | ★★ | 无 | Existence Arrow–Debreu '54；计算复杂度 PPAD-complete (Daskalakis 等)；近似最优界开放。 |
一般均衡复杂度Arrow–Debreu 1954 证一般竞争均衡存在；Daskalakis–Goldberg–Papadimitriou 给 Nash 均衡 PPAD-completeness。开放：Arrow–Debreu 经济中 ε-近似均衡的最优精度 / 复杂度上下界、强 Walras 调整动力学的收敛速度。 | ||||||
| ▶机制设计严格化（Roth–Shapley 后续） | 数学经济 | 2000s+ | ★★★ | ★★ | 无 | 稳定匹配 Gale–Shapley 已知；最优近似激励相容机制开放。 |
近似最优机制Gale–Shapley 1962 + Roth (Nobel '12) 给稳定匹配。开放：在带噪声偏好下的近似激励相容最优化、动态机制的 BIC 收敛。Hartline–Lucier 等给特定模型上下界。 | ||||||
| ▶Hopfield 神经网络相变严格化 | 数学神经科学 | 1982 / 物理预测 1985 | ★★★ | ★★ | 无 | $\alpha = N/n \to 0$ 已证；临界 $\alpha_c \approx 0.138$ 严格开放。 |
Hopfield 容量Hopfield 1982 给联想记忆模型；Amit–Gutfreund–Sompolinsky 1985 物理预测 $\alpha_c \approx 0.138$ 处发生 retrieval 失败相变。Talagrand, Bovier 给部分严格化（高温区）；临界点严格证明开放。属 Sherrington–Kirkpatrick 自旋玻璃方法的 ML 应用衍生题。 | ||||||
| ▶反应扩散斑图普适性 | 数学生物 | 1952 | ★★★ | ★★ | 无 | Turing instability 已知；最终斑图普适性弱形式开放。 |
Turing 斑图Turing 1952 反应扩散方程线性 Turing 不稳定性（必要条件）已知。开放：长时间非线性极限斑图（条纹 / 六边形选择）随机初值下普适性的弱形式严格化。 | ||||||
| B. 数值分析 | ||||||
| ▶条件数下界与最优积分公式 | 数值分析 | 1960s | ★★★ | ★★ | 无 | Bakhvalov–Sard 上下界部分对齐；高维最优常数开放。 |
积分公式条件给定光滑度类（如 Sobolev $W^{r, p}$），最优积分公式的离散度 / 条件数下界。Bakhvalov, Sard 给部分上下界；高维最优常数仍开放。属信息复杂度 (information-based complexity) 范畴。 | ||||||
| ▶任意精度算法复杂度下界 | 数值分析 / 复杂度 | 1980s+ | ★★★ | ★★ | 无 | 单变量经典问题已部分知；多变量超越函数下界开放。 |
BSS 模型复杂度Blum–Shub–Smale 模型下计算实数函数到 $\varepsilon$ 精度的最优代数复杂度。多元超越函数（特别是 hypergeometric 类型）的下界开放。 | ||||||
| C. 特殊函数 / q-级数 | ||||||
| ▶Macdonald 猜想剩余开放部分 | 表示论 / 特殊函数 | 1980s | ★★★ | ★★★ | 无 | 主要 Macdonald 恒等式 Cherednik '95 / Haiman '01 已证；次要分支开放。 |
Macdonald 残余Macdonald 多项式正系数性 Haiman 2001 (Annals) 解决；Cherednik 用 double affine Hecke algebra 证 constant term identity。开放：剩余 Koornwinder–Macdonald $BC$ 类、affine non-symmetric 推广、与 elliptic Hall algebra 的精确同构。属表示论 niche 但仍偶有 Annals 论文。 | ||||||
| ▶Rogers–Ramanujan 高阶恒等式系统 | q-级数 / 组合 | 1894 / 现代 | ★★★ | ★★ | 无 | 经典 R–R 已证；高阶 Andrews–Gordon 部分开放。 |
R–R 推广Rogers–Ramanujan 1894 经典两条恒等式由 Schur 1917 给组合证；Andrews–Gordon 1974 给高阶推广。开放：与 affine Lie 代数 character、CFT minimal model 中 fermionic / bosonic character 等同性的精确归纳框架。 | ||||||
| D. 构造性 / 直觉主义 | ||||||
| ▶Brouwer 不动点的可计算版本 | 构造性数学 | 1950s | ★★★ | ★★ | 无 | Sperner / 计算逼近已知；最优可计算精度开放。 |
构造 Brouwer经典 Brouwer 1911 证存在性；构造主义观点 Bishop 给替代版本。开放：在指定计算模型（构造主义、recursive analysis）中的最优精度复杂度，与 PPAD 复杂度的精确对照。 | ||||||
| ▶构造性实数分类等价性 | 构造性数学 / 逻辑 | 1960s | ★★★ | ★ | 无 | Bishop / Bridges / Richman 给多种构造体系；细粒度等价开放。 |
构造实数Bishop 实数、Cauchy 序列模、Dedekind 切割、计算机可表示实数等多种构造体系。开放：在没有 LPO / Markov principle 时哪些版本严格等价，与同伦型论 (HoTT) cubical 模型的对照。 | ||||||
| E. 历史 niche | ||||||
| ▶Erdős 500 美元清单残留题 | 历史 / 杂题 | 1950s-90s | ★★★ | ★★ | $≤ 500 (Erdős) | 多数已被解决；残留小问题分散于组合 / 数论。 |
Erdős 残留Erdős 一生提出 1500+ 问题，对部分悬赏 25–10000 美元（Erdős–Bacon 数文化背景之一）。Chung–Graham 等持续维护清单。残留小问题一般 ★★★ 以下，难度参差，与组合 / 数论交叉。 | ||||||
| ▶Ulam 问题集中未上墙者 | 历史 / 杂题 | 1960 | ★★★ | ★★ | 无 | 重构猜想等已上 combinatorics 主页；其余 niche。 |
Ulam 残留Ulam 1960《A Collection of Mathematical Problems》中除已被主流接管题（重构、Banach–Tarski 等）外的小问题，分散于实分析、概率、几何 niche，是历史价值 > 当前热度的题目集合。 | ||||||