几何 / 拓扑 — 待证明猜想列表

Hodge 猜想

非奇异射影复簇 $X$ 上的有理 $(p,p)$ Hodge 类 $=$ 代数闭链 $\mathbb{Q}$-组合。蕴含代数 $\leftrightarrow$ 拓扑/几何的桥梁；动机理论给出框架但未给出证明。

📖 Our explore paper： 查看完整研究项目 — 15 节主笔记（含 §13 多 agent 头脑风暴 10 角度 + Innovation Scanner schema 类比 + 5 falsifiable 子命题）+ 2 个 marathon 命题（P1 Mumford-noWeil 已被 Mostaed 2026 三障碍验证 open；H1 Moonen-Zarhin g=6 enumeration GO-revision tier C，12 页 LaTeX paper 可投 Expo. Math.）+ 8 篇近 5 年 arXiv 文献。 关键发现：Hodge 猜想在 v1.7 LLM pipeline 的现实上限 = Tier C（Expo. Math./Eur. J. Math.）；H1 paper 闭合 MZ99 g≤5 与 Markman 2025 g=6 Weil disc=-1 之间的 catalogue 空白窗口。

Smooth 4D Poincaré (SPC4)

每个同胚于 $S^4$ 的 4 维光滑流形是否微分同胚于 $S^4$？候选反例（Cappell–Shaneson）不断被否决。是 4 维"奇异"问题群的核心。

Tate 猜想

有限生成域上代数簇的 $\ell$-adic Galois 不变上同调类来自代数闭链。Hodge 的算术类比。Faltings 用 Tate 猜想证 Mordell。

Standard Conjectures

关于代数闭链的 Lefschetz 类型、Hodge 标准猜想等。若成立可构造 motive 范畴。Hodge 与 Tate 蕴含之。

Beilinson 猜想

L-函数特殊值由 motivic cohomology 上的高度类决定。BSD 与 Lichtenbaum 的高远推广，被认为是算术几何的"大统一"目标之一。

Bloch–Beilinson 滤过

Chow 群应存在自然有限滤过，其分次商可用 motivic cohomology 描述。完全开放。

Volume Conjecture

双曲纽结的双曲体积 $= \lim$ Kashaev 不变量（彩色 Jones 多项式在 $q = e^{2\pi i / N}$ 渐近）。连接量子拓扑与双曲几何；个别情形被证（Ohtsuki, Murakami 等）。

Cannon 猜想

Gromov 双曲群的 Gromov 边界同胚 $S^2 \Rightarrow$ 群虚同构 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 离散子群。等价许多 3-流形拓扑结论。

Whitehead 猜想

非球面 2-复形的连通子复形仍非球面。等价多种群论命题（Kervaire–Laudenbach 等）。

内接正方形问题

任意 Jordan 闭曲线是否必内接正方形？光滑 / 凸情形已证；一般连续曲线开放。

📖 Our explore paper： 查看完整研究项目 — 15 节主笔记 + 4 个深入命题（~82 agent / ~$8）+ 20+ 篇 arXiv 文献。关键发现：P2 命题严格证 c(K) ≥ 1/(4√2 K)·diam(γ) + 凸渐近 c·K → 1.000，4 命题 PASS/4 个全 strong-GO。L3 lit-integrator 发现 Greene–Lobb 2024 (Floer Homology and Square Pegs) 已蕴含 P1' 全陈述。

Falconer 距离猜想

$\mathbb{R}^n$ 中 Hausdorff 维 $> n/2$ 的集合，其距离集 Lebesgue 正测度。与限制猜想、Kakeya 关联。

Kakeya 集

$\mathbb{R}^n$ 中含每方向单位线段的集合维数 $= n$。蕴含限制猜想、Bochner–Riesz。

Kissing Number

$n$ 维单位球可同时被多少不重叠等球相切？$n = 8$ (240), $n = 24$ (196560) 由 Viazovska 等 2017 解决；其他维只有上下界。

球密堆

$n = 8$ 由 Viazovska 2016 ($E_8$ lattice)，$n = 24$ (Leech) 由 Cohn–Kumar–Miller–Radchenko–Viazovska 解决。$n = 4, 5, 6, 7, 9{+}$ 开放。

Hadwiger 猜想

无 $K_t$ 子图 minor 的图 $\Rightarrow (t-1)$ 可染色。$t = 5$ 等价 4 色定理；$t = 6$ 由 Robertson–Seymour–Thomas 证。

Hadwiger–Nelson 问题

给 $\mathbb{R}^2$ 上的点染色，使距离 $1$ 的点不同色，最少需几色？长期 4–7，2018 业余数学家 Aubrey de Grey 找到 1581 点的 5-色图。

Borsuk 猜想

$\mathbb{R}^n$ 中任意有界集可分为 $n + 1$ 个直径更小的子集。Kahn–Kalai 1993 反驳 $n = 1325$；逐步降至 $n = 64$（Jenrich 2018）。低维仍开。

Moving Sofa

L 型走廊（单位宽，直角转弯）可移动的最大面积刚体。Romik 等用数值搜索接近 Gerver 下界，无上界证明 = 该值。

Heesch 数问题

不能平面密铺但能被 k 层环绕的形状，最大 k 是否有限？是否存在所有 k 的实例？2020 后 aperiodic monotile（Smith–Myers–Kaplan–Goodman-Strauss 2023）改变了相关图景。

Slice–Ribbon

S³ 中切片纽结是否都是 ribbon 纽结？4 维拓扑核心问题之一，与 4D Poincaré 类比关联。

Andrews–Curtis

Fₙ 平衡呈现表示平凡群 ⇒ 可由 Nielsen + 共轭化为平凡呈现。等价 4 维 Whitehead 手术问题，与光滑 4D Poincaré 关联。

Novikov 猜想

闭定向流形高阶 signature 是同伦不变量。对双曲群、CAT(0) 群、amenable 群已证；可数群一般开放。

Borel 猜想

同伦等价的 aspherical 闭流形是同胚的。与 Farrell–Jones 猜想紧密相连。

Farrell–Jones 猜想

K-理论装配映射同构。Bartels–Lück–Reich 等大量推进；蕴含 Borel、Kaplansky 等。

Singer 猜想

非正曲率封闭 aspherical $2n$-流形的 $L^2$ Betti 数仅 $b_{(2)}^n$ 非零。蕴含 Hopf 猜想（Euler 特征符号）。

Atiyah 猜想

L² Betti 数取理性值；对无挠群应为整数。已证大类群（free, surface, etc.）。

Yau 列表

1982 ICM Yau 提 120 个几何分析问题；含 Yau–Tian–Donaldson（Kähler-Einstein 存在性）等已部分解决；许多关于特征数、Ricci flow、min/max 仍开放。

Berger 猜想

偶维球面上每个 Riemann 度量都有无穷多闭测地线。Bangert–Hingston 等对球部分情形证；一般开放。

Filling Area Conjecture

用最小面积曲面填充给定长度圆周边界。Pu 不等式给出射影平面情形；高维一般开放。

SYZ 镜像对称

Calabi–Yau 之间的镜像对称源自双重 special Lagrangian fibration。Gross–Wilson、Kontsevich–Soibelman 等给出部分证据。

同调镜像对称

$D^b(\mathrm{Coh}(X)) \cong \mathrm{Fuk}(X^\vee)$。Seidel、Sheridan、Polishchuk 等证多个具体情形。一般 CY 仍未完全解决。

Erdős 单位距离问题

平面上 $n$ 点最多决定多少单位距离对？历史上 Spencer–Szemerédi–Trotter (1984) 给 $O(n^{4/3})$，下界 $n^{1 + \Omega(1/\log\log n)}$。Erdős 猜想上界为 $n^{1+o(1)}$ 级别。

证伪：2026 年 OpenAI 团队借助大模型辅助搜索构造出反例，使猜想的上界形式不再成立。详细见上方链接。

Hirsch 猜想

$d$ 维 $n$-面多胞形顶点图直径 $\le n - d$。Santos 2010 给出反例；多项式 Hirsch（直径 $\le \mathrm{poly}(n, d)$）仍开放。

Cobordism Hypothesis

fully extended $n$-TQFT $\cong$ fully dualizable 对象。Lurie 给出大体策略，但完整严格证明（特别是 $n \ge 4$）仍在补充。

Annulus Conjecture

$S^{n-1} \subset \mathbb{R}^n$ 的两同心嵌入间的区域是 annulus。Kirby (1969) + Quinn 证 $n \ne 4$；4 维开放。

光滑 Schoenflies

$S^{n-1} \subset S^n$ 光滑嵌入是否切定两标准 disk？$n \ge 5$ 仍开放。

Mean Curvature Flow 奇点

3 维以下平均曲率流的 II 型奇点分类（除 cylinders, spheres 外）仍开放，是几何流大计划核心问题。

Hopf S²×S² 正曲率

$S^2 \times S^2$ 是否能赋予正截面曲率的黎曼度量？现有正截面曲率紧流形只包括秩 1 对称空间和少量 Wallach 空间；构造 / 证不可能均无突破。Yau 把它列为黎曼几何头号问题之一。

Hopf χ 符号

设 $M^{2n}$ 紧、正截面曲率，则 $\chi(M) > 0$？$2n = 2$（球面，$\chi = 2$）、$2n = 4$（Chern–Gauss–Bonnet）已证；$2n = 6, 8, \ldots$ 已成为黎曼几何最古老的开放问题之一。Gromov、Schoen、Petersen、Wilking 给部分维度或对称约束下的特殊结果。

Singer 猜想

设 $M^{2n}$ 闭非正截面曲率，则 $L^2$-Betti 数 $b^{(2)}_k(\widetilde{M}) = 0$ 当 $k \ne n$。蕴含 Hopf 类的 χ 符号猜想（$(-1)^n \chi(M) \ge 0$）。Davis–Okun 在 $2n = 4$、Gromov hyperbolic 类等给部分结果；高维非正曲率全开放。

Bartnik mass

给紧 3 维带边初始数据集 $(\Omega, g, k)$ 的 Bartnik 质量 $m_B(\Omega)$ 是否被某个稳态 Einstein 真空填充达到？相关程序由 Anderson、Khuri、Lee 等推动；全域唯一性、半正性、与 ADM 质量的相容性均未完全证明。是数学广义相对论的中心问题。

$S^6$ 复结构

$S^6$ 是否能赋予整复 (integrable) 复结构？已知 $S^6$ 有近复结构（来自 octonions），是否整复 70+ 年悬而未决。Atiyah 2016、Etesi 2018 等多次"证明"皆被发现错误。Hopf S²×S² 的复几何兄弟。

Filling Radius / Volume

Gromov 1983 证明 $\mathrm{FillRad}(M^n) \le c_n \cdot \mathrm{vol}(M)^{1/n}$，最优 $c_n$ 仅 $n = 2$ 知（Pu / Loewner 不等式）。$n \ge 3$ 时最优常数完全未知，连一致界都难以逼近。

Anosov 分类

负曲率紧流形测地流是 Anosov（Anosov '67）；反之，紧流形上的 Anosov 流是否都来自代数 / 测地构造？Verjovsky 猜想其传递 Anosov 流可分类；高维仍完全开放。涉及 Margulis 测度与 Pesin 程序。

YTD 推广

Yau–Tian–Donaldson：Fano 流形的 K-稳定性 $\Leftrightarrow$ Kähler–Einstein 度量存在。Chen–Donaldson–Sun 2015 解决 Fano 情形；一般 Kähler 类（cscK 度量、特殊 cscK with extremal vector field）仍是 Tian–Chen–Cheng 程序核心，2020s 由 Boucksom–Jonsson 等推到非阿赫里亚解析方法仍部分开放。