← 返回总览

代数 / 代数几何 — 待证明猜想列表

群论 · 环论 · 表示论 · 代数 K-理论 · 算子代数 · 动机理论

名称子领域提出时间难度关注度奖金当前进展
▶Jacobian 猜想交换代数 / 代数几何1939★★★★★★★无多次"证明"被撤回。

Jacobian 猜想

$F : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ 多项式映射，Jacobian 常数 $\Rightarrow$ 多项式逆。Smale 21 世纪问题之一；与 Dixmier 猜想等价。

▶Dixmier 猜想非交换代数1968★★★★★★无与 Jacobian 等价（Tsuchimoto, Belov-Kanel–Kontsevich 2005）。

Dixmier 猜想

Weyl 代数 $A_n$ 的每个 endomorphism 是 automorphism。等价 $2n$ 维 Jacobian 猜想。

▶Burnside 自由限制问题 (B(2,k))群论1902★★★★★★★无k=5 开放；k=6 (Hall)、3、4 已证有限。

Burnside

$B(m, n) = $ 自由 $m$-生成 $n$-周期群。Novikov–Adian 1968 证 $n$ 奇且 $\ge 665$ 无穷；$n = 5$ 有限性开放。

▶Kaplansky 单位 / 零因子猜想群环1950s★★★★★★★无Gardam 2021 反驳单位猜想。

Kaplansky 猜想

无挠群 $G$ 的群环 $k[G]$ 无零因子 / 无非平凡单位 / 无幂等。Gardam 2021 给单位猜想反例（Promislow 群，特征 2）；零因子开放。

▶逆 Galois 问题代数1893（Hilbert）★★★★★★★★无可解群已证；许多简单群已证；一般开放。

Inverse Galois

每个有限群是否 $\mathbb{Q}$ 上 Galois 群？Shafarevich 证可解；许多 sporadic 简单群已证（含 Monster, Thompson）；一般待证。

▶Standard Conjectures (Grothendieck)代数几何 / motives1968★★★★★★★★无特征 0 + Hodge 类型部分已证；正特征开放。

Standard Conjectures

(A) Lefschetz、(B) Hodge type、(C) Künneth、(D) homological ≡ numerical equivalence。若全成立可建 pure motives 范畴。

▶Bloch–Kato 猜想（推广至 mixed motives）K-理论 / motives1986★★★★★★★★无Norm Residue Theorem (Voevodsky–Rost) 已证基础形式。

Bloch–Kato

Galois cohomology 与 Milnor K-理论的同构（Voevodsky 2003，2011 完整）。mixed motives 完整框架仍开放。

▶Voevodsky 滑动 / 动机六函数motives2000s★★★★★★★★无部分由 Ayoub–Cisinski–Déglise 构造；conservativity 开放。

动机六函数

SH(S) / DM(S) 上的六函子框架；motivic ℓ-adic 实现的 conservativity 是开放核心。

▶Quillen–Lichtenbaum 猜想（高维）K-理论1973★★★★★★无主要 odd-prime 已由 Voevodsky 证；2-primary 部分开放。

Quillen–Lichtenbaum

algebraic K-theory 与 étale cohomology 在高阶处吻合。Voevodsky norm residue 隐含奇素部分。

▶Baum–Connes 猜想（带系数）算子代数 / K-理论1982★★★★★★★无带系数版有反例 (HLS 2002)；无系数大类已证。

Baum–Connes

assembly map K^G(EG) → K(C*_r G) 同构。蕴含 Novikov、Kadison–Kaplansky 等。a-T-menable 已证。

▶Connes 嵌入问题 (CEP)算子代数1976★★★★★★★★★无MIP* = RE (2020 Ji–Natarajan–Vidick–Wright–Yuen) 反驳。

Connes 嵌入

每分离 $\mathrm{II}_1$ 因子嵌入 $R^\omega$。2020 量子复杂性结果 MIP* = RE 蕴含反例；公认 CEP 假命题，正在严格写下分析方面证据。

▶Andrews–Curtis 猜想组合群论1965★★★★★★★无无定论；多潜在反例。

Andrews–Curtis

$F_n$ 平衡呈现表示平凡群 $\Rightarrow$ AC 化简。与光滑 4D Poincaré 关联。

▶Kervaire 猜想组合群论1965★★★★★★无无挠群 / 局部可逆群已证；一般开放。

Kervaire 猜想

非平凡群 $G$、关系 $r \in G * \mathbb{Z} \Rightarrow G * \mathbb{Z} / \langle\langle r \rangle\rangle$ 非平凡。

▶Whitehead 猜想（K₁ 平凡）K-理论1949★★★★★★无大类已证；无挠群一般开放。

Whitehead 群

无挠群 $G \Rightarrow \mathrm{Wh}(G) = 0$。Farrell–Jones 蕴含之，已证大类（hyperbolic、CAT(0) 等）。

▶Bass 猜想（K-理论有限性）K-理论1976★★★★★★无大类有限生成群已证。

Bass 猜想

有限呈现群 G 的 Hattori–Stallings trace 取整值。许多群类已证；一般开放。

▶Birch–Tate 猜想（2-部分）代数 K-理论1970s★★★★★★★无奇素部分由 Mazur–Wiles 证；2-部分开放。

Birch–Tate

全实域 $F$：$\#K_2(\mathcal{O}_F) = |w_2 \zeta_F(-1)|$。Iwasawa 主猜想给出奇素部分；2-primary 由 Kolster 等条件性证明。

▶Casas-Alvero 多项式猜想多项式代数2001★★★★★无degree ≤ 7、某些素 degree 已证。

Casas-Alvero

$p(x) \in \mathbb{C}[x]$ degree $n$，每个 $p^{(k)}$ ($k = 1, \ldots, n-1$) 与 $p$ 有公根 $\Rightarrow p = c(x - a)^n$。

▶Pierce–Birkhoff 猜想实代数几何1956★★★★无≤ 2 变量已证。

Pierce–Birkhoff

$\mathbb{R}^n$ 上每个 piecewise-polynomial 函数可表为多项式的 max/min。$n = 1, 2$ 已证 (Mahé)；$n \ge 3$ 开放。

▶Zilber–Pink 猜想Diophantine 几何2000s★★★★★★★★无许多 abelian / Shimura 情形已证。

Zilber–Pink

关于 abelian / Shimura 簇上特殊子簇与有理点交的非典型分量有限性。融合 Manin–Mumford、André–Oort、Mordell–Lang。

▶André–Oort 猜想（一般 Shimura）Shimura 簇1989★★★★★★★★无Pila–Tsimerman, Pila–Shankar–Tsimerman 等近年大规模证明。

André–Oort

Shimura 簇含 Zariski-dense 特殊点的子簇是 weakly special。Tsimerman 2018 + Pila–Shankar–Tsimerman 2021 完成纯 A_g 情形；混合 Shimura 仍开放。

▶Hrushovski Manin–Mumford 推广模型论1996★★★★★★无特征 0 已证；正特征 / function field 部分开放。

Manin–Mumford 推广

对偶 abelian 簇含挠点 Zariski-dense 的子簇分类。模型论方法（Hrushovski）特征 0 解；正特征异性。

▶Wahl 同调稳定性边界同调代数2010s★★★★无具体常数开放。

Wahl 稳定性

map class group, automorphism group of free groups 等的同调稳定性的最优范围（Galatius–Kupers–Randal-Williams 改进）。

▶Schur 复 Lie 代数表示问题表示论1900s★★★★★★无仿射 / 量子情形大量开放。

Lie 代数表示开放

仿射 Kac–Moody、量子群 root of unity 处的不可约表示分类与维数公式（Lusztig 猜想族）部分开放。

▶Lusztig 模型猜想（精细化）表示论1980s★★★★★★★无特征 ≫ 0 已证 (AJS) / 反驳；模特征精细化开放。

Lusztig 模特征公式

正特征 reductive 群不可约表示特征。Williamson 2013 反例使原版猜想需修订；新的 p-canonical basis 提供框架。

▶Crouzeix 猜想线性代数 / 算子2004★★★★★★无$\|p(A)\| \le 2 \max |p(W(A))|$；常数 $2$ 开放。

Crouzeix 猜想

矩阵 $A$、多项式 $p$：$\|p(A)\| \le 2 \max_{z \in W(A)} |p(z)|$（$W(A)$ 数值域）。Crouzeix 证 11.08，后续改进至 $1 + \sqrt{2}$；猜想精确 $2$ 开放。

▶Köthe 猜想非交换环论1930★★★★★无许多情形已证。

Köthe 猜想

环中所有 nil 左 ideal 之和是 nil。Amitsur 证 PI 环情形；一般开放。

▶Pierce 关于半群恒等式问题泛代数1960s★★★★无许多变种开放。

Equational theories

有限半群的恒等式有限基定理（Birkhoff–Tarski 1946）的有效版本与某些类的可判定性。

▶Tarski 自由群一阶理论可判定群论 / 模型论1945★★★★★★★★无Sela 与 Kharlampovich–Myasnikov 各自证。

Tarski 自由群

所有非阿贝尔自由群有同样的一阶理论，且可判定。Sela 1995–2008，Kharlampovich–Myasnikov 1998–2010 独立证；总篇幅 1000+ 页，确认状态仍在确认中。其精细模型论问题（稳定性、ω-稳定性）仍开放。

▶Quantum Yang–Baxter / Brillouin 拓扑量子代数1980s+★★★★★无特殊解构造完整；分类问题开放。

Set-theoretic YBE 解的分类

set-theoretic Yang–Baxter 方程解（braided sets）的完整分类，仅完成 involutive、cycle 类等子情形。
代数 / 代数几何 · 共 30 个待解问题