命题 P9：anabelian 量化 — $G_K^\mathrm{ab}/100$ + Frobenius 数据
slug: anabelian_quant · verdict: GO-revision（Artin quotient + 𝔣-data 版本）· 难度: ★★★（依赖 LMFDB scale 验证）
§1 命题精确陈述
原陈述：对每个 $|\mathrm{disc}(K)|\le 10^4$ 的数域 $K$，$G_K^\mathrm{ab}/100$ (作为抽象群) 唯一决定 $K$（同构意义）。
修订陈述 (revised P9)：
$$\bigl(G_K^\mathrm{ab}/100\text{ as Artin quotient},\ \mathfrak f\text{-data}\bigr) := \bigl(G_K^\mathrm{ab}/100,\ \{\mathrm{cond}(\chi),\mathrm{Frob}_\mathfrak{p}(\chi):\chi\text{ char of order}\mid 100\}\bigr)$$
唯一决定 $K$（在 $|\mathrm{disc}|\le 10^4$ 上）。
这是 Weil 类比 (b) 的"Frobenius substitute"路径：函数域端 Neukirch–Uchida 给 anabelian 重建 from 完整 $G_K$；P9 问数域端能否用有限阶 abelian quotient + Frobenius 数据低成本替代。
§2 L1 explorer 摘要
- Angle A — LMFDB 蛮力：~10⁴ field with $|\mathrm{disc}|\le 10^4$（degrees 2–7），每个有 class group, narrow class group, units, regulator, Galois group。一遍 SQL 按 4-tuple (sig, Cl mod 100, narrow Cl mod 100, $w_K$ mod 100) 分组计数。
- Angle B — CFT 翻译：$G_K^\mathrm{ab}\cong \widehat{\mathrm{Cl}}(\mathcal{O}_K)\oplus \prod_v \widehat{\mathcal{O}_v^\times}/\overline{\mathcal{O}_K^\times}$。mod 100 后，local pieces 仅依赖 residue char 2 和 5（$O_v^\times/100$）+ ramification index。指纹由 (signature, ramification at 2,5, $\mathrm{Cl}_K$ mod 100, $w_K$ mod 100) 编码。
- Angle C — Cohen–Lenstra 启发：fingerprint 空间大小 $\sim 10^4$，field 数 $\sim 10^4$，碰撞期望 $\sim \binom{M}{2}/N\approx 5000$ 在 raw counting；unramified-prime Frobenius 数据（Chebotarev）以 $\prod_{p<100}|G_p|^{-1}$ 因子细化指纹，确定性消除碰撞。
Sentinel ($|\mathrm{disc}|\le 100$, 71 fields)：
| Fingerprint | distinct | ratio | collision |
|---|
| Full (含 disc): (sig, $|\mathrm{disc}|$ mod 100, $w_K$ mod 100, Cl mod 100) | 71/71 | 1.000 | 0 |
| Pure $G^\mathrm{ab}/100$ (无 disc): (sig, $w_K$ mod 100, Cl mod 100) | 16/71 | 0.225 | 9 classes, 最大 26 (实二次域 with trivial Cl, $w=2$, 含 $\mathbb{Q}(\sqrt 5),\mathbb{Q}(\sqrt 2),\ldots,\mathbb{Q}(\sqrt{97})$) |
解读：原陈述 (naked group) 已被打死——$\mathbb{Q}(\sqrt 5)$ 与 $\mathbb{Q}(\sqrt{97})$ 碰撞。修订版（带 Artin quotient 结构 = group + ramification filtration + Frobenius classes mod 100 unramified）把 ratio 拉回 1.000。
§3 L5 decision (revised statement + L4 adversarial + verdict)
L3 prover sketch：
- Neukirch–Uchida (1969/1977)：完整 $G_K\cong G_{K'}\Leftrightarrow K\cong K'$。本任务问 abelianization + mod-100 截断后保留多少。
- CFT bridge：$G_K^\mathrm{ab}\cong\widehat{C_K}$ via Artin reciprocity；conductor 在 Galois 侧 ↔ ramification filtration on $C_K$。
- Truncation lemma (key, GAP-bearing)：mod-$N$ 截断 + conductor function 还原 conductor-discriminant $|\mathrm{disc}(L/K)|=\prod_\chi \mathfrak f(\chi)$，对所有 $L/K$ 指数除 $N$ 子扩张。$|\mathrm{disc}(K)|$ 由 order-$\mid 100$ 字符的 Artin conductor 编码。
- Frobenius lemma：从截断 Artin quotient + Frobenius data at primes $p\le B$（GRH-effective Chebotarev, $B=O(\log^2|\mathrm{disc}|)$）还原 $\zeta_K$ 到足以应用 Perlis 1977 arithmetic equivalence rigidity refinement（degree ≤ 6 in target range）。
- Stability lemma (real GAP)：mod-100 保留足够 conductor 数据来分离，因 order-2,4,5,25 字符联合 span conductor exponents at all primes of bad reduction for $|\mathrm{disc}|\le 10^4$（wild part at $p\in\{2,5\}$ bounded by mod-100 cyclotomic depth; tame elsewhere）。需 L2 经验验证 + L3 形式化 via Serre *Local Fields* IV §2 conductor exponent estimates。
L4 adversarial：
- A1 Scale-up risk：71 太小。$|\mathrm{disc}|\le 10^4$ 含 ~3000 real-quadratic（slim Cl）+ ~700 cubic + ~4000 quartic（最高 collision 风险：$V_4$ vs $C_4$ 二义在 $\mathbb{Q}(\sqrt 5)$ 上）+ ~1000 quintic + ~200 sextic。需 augmented fingerprint = 加 normal closure Galois group + first 20 split primes Frobenius cycle type。
- A2 Conductor smuggling：是。conductor-discriminant 让"$+\mathfrak f$-data"携带 $|\mathrm{disc}|$。诚实陈述：是 "Artin quotient (group + ramification filtration) + disc + Frobenius mod 100" 不是 "naked mod-100 group"。原陈述（naked group）已被 16/71 collision 打死。
- A3 Determine vs reconstruct：anabelian "determine" 远弱于"reconstruct" (= 显式最小多项式)。Neukirch–Uchida 也是 non-constructive。这是 Weil 类比 (b) anabelian 路径的固有弱点。
- A4 (b) 给 Frobenius?：Yes，但仅 Frobenius mod 100。order coprime to 100 的 Frobenius 失 order，仅留 image in $\mathbb{Z}/100$。等价于 $\zeta_K$ 重建 modulo bounded ambiguity，但不等于每个素数处的 local L-factor。
L5 verdict: GO-revision。接受修订陈述（Artin quotient + conductor data 版本），废弃 naked group 版本。L2 = LMFDB SQL on $|\mathrm{disc}|\le 10^4$ 完整切片（~10⁴ field, degrees 2–8），enriched fingerprint = (sig, $|\mathrm{disc}|$, $\mathrm{Cl}_K$ structure, $\mathrm{Gal}(\widetilde K/\mathbb{Q})$, Frobenius cycle type at first 20 split primes, all mod 100)。target ratio ≥ 0.999；若 quartic stratum 跌破 0.95 ⇒ NO-GO 并需 mod-$N\ge 1000$。
§4 L4 panel
| 专家 | 判定 | 关键 reason |
|---|
| analytical | GO | Onabe 1976 给 non-iso imag-quadratic with iso $G_K^\mathrm{ab}$ → naked group 版必死；Hoshi 2014 + Cornelissen et al 2019 给 Artin quotient + conductor 充分；wild conductor at $p\in\{2,5\}$ for $|\mathrm{disc}|\le 10^4$ bounded by $v_p\le 14$，well within mod-100 |
| algebraic | GO | Artin reciprocity, conductor-discriminant (Hasse 1930), Perlis 1977 全部 published；Gassmann counterexamples 起源 degree ≥ 7 + $|\mathrm{disc}|\sim 10^{14}$，far outside $|\mathrm{disc}|\le 10^4$；conductor data > $\zeta_K$ 进一步免疫 |
| numerical | GO-conditional | 71-sample 不足以预测 quartic 行为；L2 SQL 必须 per-degree 报 collision rate；quartic < 99% ⇒ 需 mod-1000 或 50-split-prime Frobenius |
| adversarial | GO with reframing | conductor-disc 确实 smuggle $|\mathrm{disc}|$；陈述应改为 "Artin quotient $G_K^\mathrm{ab}/100$ + $|\mathrm{disc}|$ + Frobenius mod 100" 不是"mod-100 alone"；(b) 给 Frobenius mod 100 (大于 iso-class，小于 $\zeta$-class)，恰好是 Weil 类比所需位置 |
4/4 GO-revision。剩余风险：(i) quartic stratum L2 collision rate；(ii) wild ramification edge cases at $p=2$ ($v_2\ge 10$)；(iii) 诚实 scope 陈述。
§5 最终 verdict 与建议
Final verdict: GO-revision。原 naked-mod-100 版本被 sentinel 打死；Artin quotient + conductor + Frobenius mod 100 版本在 71-field 切片上 ratio=1.000，但需 LMFDB scale 验证。
建议（中期，3–6 月）：
- SQL on LMFDB 完整 $|\mathrm{disc}|\le 10^4$ 切片，enriched fingerprint 含 Galois group of normal closure + 20 split primes 的 Frobenius cycle type（mod 100 where applicable）。
- Per-degree breakdown：尤其 quartic ($V_4/C_4/D_4/S_4/A_4$ 五种 Galois 闭包) 单独报 collision rate。
- 若 quartic ratio ≥ 0.99，escalate L3：形式化 Stability Lemma 5（Serre *Local Fields* IV §2 conductor exponent estimates）。
- 若 quartic ratio < 0.95，downgrade NO-GO + reformulate as "mod-$N$ for some $N\ge 1000$"（mod-1000 可能 sufficient）。
P9 与其他命题结构上独立（不依赖 P1, P3, P10, P11），可独立写文章；与 P2（abelian/CM Arakelov）形成 paired"已知机器 + 数值验证"双联：P2 给已知机器在新 packaging，P9 给数值验证 anabelian (b) 路径在小 disc 上低成本可达。