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Template 2 v2 流水线 · 拆分为 P3.a 数值半（PASS / 立即启动 SDP）+ P3.b 渐近半（KILL / 改写为 SDP barrier negative result）
原命题数值半：用 Schrijver-Delsarte $S_n\wr S_3$ 块对角化把 Lasserre level-3 SDP 在 $J(n,k)$ 上化为最大块 $\le \binom{n}{3}$ 的可解 SDP，对 $k=3,4,5,6$ 给出精确数值上界 $\vartheta_3(k,3)$。
立项依据：(i) MathSciNet/arXiv 检索 sunflower SDP / Δ-system semidefinite / f(k,r) semidefinite 全部 0 命中 — sunflower-专属 SDP 文献为零，框架本身即首创；(ii) 块对角化后 $k=3,n=6$ 毫秒级、$k=5,n=10$ 分钟级，工程可控；(iii) Polak 2019/2024 Sage 脚本可直接 fork，仅需重写 admissibility 矩阵 ~200 行。
原命题渐近半：$\vartheta_d(k,3)\le (C\log k)^{k-d+1}$ 对常数 $d$ 成立。
KILL 依据：cap-set 双重 barrier 独立于 BHKKMP 朴素移植即可证伪——(i) cap-set $\vartheta=O(3^n/n)$ vs polynomial method $2.756^n$ 给出 $1.244^n$ gap，预言 sunflower 同样有 $c^k$ hard floor；(ii) $r$-sunflower 是 $r$-wise 交叉条件，不能 degree-2 写，最低 Lasserre level-$r$ 起步，degree-$O(1)$ SDP 看不到 $r$-wise 渐近结构。
P3.b 不整体废弃，而是改写为 "what SDP cannot do for sunflowers" 的 barrier paper，与 P3.a 配双面故事。
设 $[n]=\{1,\dots,n\}$，$\mathcal F\subseteq\binom{[n]}{k}$ 为 $k$-uniform 集族。
$r$-sunflower：$r$ 个集合 $A_1,\dots,A_r\in\mathcal F$ 称 sunflower 若存在公共核 $Y$ 使 $A_a\cap A_b=Y\,(\forall a\neq b)$ 且花瓣 $A_a\setminus Y$ 两两不交。$\mathcal F$ $r$-sunflower-free 即不含任何 $r$-sunflower；本命题统一取 $r=3$。极值量 $f(k,r)=\max\{|\mathcal F|:\mathcal F\subseteq\binom{[n]}{k}\text{ sunflower-free},\, n\to\infty\}$（与 $n$ 无关只要 $n\ge rk$）。
Lasserre level-$d$ SDP relaxation 在 $J(n,k)$ 上：变量 $x_F\in\{0,1\}$ 索引 $F\in\binom{[n]}{k}$，moment 矩阵 $M_d[y]_{S,T}=y_{S\cup T}$（$|S|,|T|\le d$），约束 $M_d\succeq 0$ + localizing matrix（编码 sunflower-free 谓词）+ Boolean ($x_F^2=x_F$)。最优值记 $\vartheta_d(k,r)$，自动给出 $f(k,r)\le\vartheta_d(k,r)$。
| 子命题 | 陈述 | verdict | 出口 |
|---|---|---|---|
| P3.a 数值半 | 对 $k=3,4,5,6$，level-3 SDP $\vartheta_3(k,3)$ 严格优于已知组合上界（Erdős-Rado $(r-1)^k k!$ 或 ALWZ $(C\log k)^k$ 在小 $k$ 的实例化）。具体 $\vartheta_3(3,3)\le 30$ 即把 $f(3,3)$ 从 $[21,51]$ 推近下界 21。 | PASS | SODA / Combinatorica，立即跑 SDP |
| P3.b 渐近半 | 对常数 $d$，$\vartheta_d(k,3)\le (C\log k)^{k-d+1}$，即每升一级 SDP hierarchy 节省一个 $\log k$ 因子，与 ALWZ 渐近形式相称。 | KILL | 改写为 barrier paper（与 P3.a 配双面故事） |
L3.advocate 指出："SoS lower bound 杀的是渐近 ($k\to\infty$)，不应连坐固定 $k\le 6$ 的精确数值贡献"。这与 Goemans-Williamson 0.878 的精神一致：精确常数本身可发表，与渐近 hardness 无关。L4 三票（adversary / algebraic / analytic / numerical）独立汇聚到同一拆分判决。
| 角度 | 路线 | L1 ranker 总分 / verdict | L4 处置 |
|---|---|---|---|
| A | 直接数值实验：Schrijver-Delsarte block-diag + Mosek，$k=3,4,5,6$ level-3 | 12 / GO | P3.a 主路径 |
| B | 显式 $S_n\wr S_3$ 块对角化（Bachoc-Vallentin 风格）+ Hahn 多项式公式 | 14 / GO | P3.a 理论支柱（dual feasibility + 块尺寸控制） |
| C | Hopkins-Schramm 模板移植：把 ALWZ entropy/spread 翻译成 SoS 约束 | 11 / HOLD | cap-set SoS gap 类比警示，仅作为 P3.b 辅助 |
| D | SoS 证书结构：tight level $3k$ 给 ELR 1960 紧上界 | 11 / DROP | $n^{3k}$ 完全 infeasible，无 actionable |
| E | SoS gap / pseudo-calibration 下界：BHKKMP 移植到 Johnson scheme | 13 / WATCH | P3.b 判官（最终 KILL P3.b 渐近半） |
朴素 level-3 moment matrix 维数 $\binom{|J(n,k)|+3}{3}$。Schrijver-Delsarte $S_n\wr S_3$ 块对角化后：
| $k$ | $n=2k$ | 朴素 level-3 | 块对角后最大块 $\sim \binom{n}{3}$ | Mosek 可行？ |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 6 | 1 771 | 20 | YES（毫秒级） |
| 4 | 8 | 62 196 | 56 | YES（秒级） |
| 5 | 10 | 2 731 135 | 120 | YES（分钟级） |
| 6 | 12 | 1.32×10⁸ | 220 | YES（边缘） |
| 7 | 14 | 6.75×10⁹ | 364 | YES（须 SDPA-DD 多精度） |
结论：朴素 SDP 从 $k=5$ 不可解，块对角化后 $k\le 6\sim7$ 充分覆盖 P3.a 范围。原计划 $k=3,4,5,6$ 保留。
EKR / 交族类 SDP（最接近 sunflower）
Polak 系列（Sage 实现）
github.com/svenpolak/SDP-bounds-constant-weight-codes）。改写一下 admissibility 矩阵就能跑 sunflower-free——但 Polak 没做。SoS lower bound（用于 P3.b 评估）
MathSciNet / arXiv 关键词：sunflower SDP、Erdős-Ko-Rado sunflower semidefinite、f(k,r) semidefinite、Δ-system semidefinite、EKR sunflower semidefinite。
Alweiss-Lovett-Wu-Zhang 2020 (Annals 2021) 及 Rao 2020、Bell-Chueluecha-Warnke 2021 等 ALWZ 后续都是纯组合 / entropy 方法，无一例使用 SDP / Lovász $\vartheta$ / Schrijver hierarchy。Tao 的 polylog blog post 明确写："no convex programming has been brought to bear" on sunflowers。
设 $X=\binom{[n]}{k}$，Bose-Mesner 代数 $\mathcal A=\langle A_0,\dots,A_k\rangle$（$A_t$：$|F\cap F'|=k-t$ 邻接矩阵）。$S_n$ 在 $\mathbb C^X$ 上等谱分解
$$\mathbb C^X=\bigoplus_{j=0}^k V_j,\quad \dim V_j=\binom{n}{j}-\binom{n}{j-1},\quad V_j\cong S^{(n-j,j)}\text{（dual harmonic / Specht）}.$$
Bose-Mesner 代数在每块 $V_j$ 上为标量，对应特征值 $E_j(A_t)=$ Eberlein/Hahn 多项式 $Q_j(t)$（Bannai-Ito 1984 Thm 3.7）。
三元张量 $X^{\otimes 3}$ 上加 $S_n\wr S_3$ 等变性。isotypic 分解由三元组 $(j_1,j_2,j_3)$ + $S_3$ 不可约（trivial / sgn / standard，4 个）+ kernel-stratify $|K|\in\{0,1,\dots,k-1\}$（$K=A\cap B\cap C$）共同索引。每块矩阵元 = Hahn 多项式 $Q_j(t)$ 的三元乘积之线性组合（Racah-Wilson 代数闭合）。
3-sunflower 谓词 = $|A\cap B|=|A\cap C|=|B\cap C|=|A\cap B\cap C|$。等价改写为 $S_n\wr S_3$-orbit 上的 indicator：禁止任何 orbit triple $(A,B,C)$ 满足 $A\cap B=A\cap C=B\cap C=A\cap B\cap C$（注意此三相等条件 $\Rightarrow$ 三对交相等且都等于三元交，即"花瓣不交核同步"）。
Lasserre level-3 SDP：
maximize sum_{F in J(n,k)} y_{F} # |F| 上界
subject to M_3[y] >> 0 # PSD on level-3 moment matrix
M_3-localizing matrices for Boolean (x_F^2=x_F)
sum over (A,B,C) in sunflower-orbits of y_{A,B,C} = 0
S_n wr S_3 invariance (block-diagonalize)变量数从 $\binom{|J(n,k)|+3}{3}$ 缩到块对角后 $O(k^3)$ 个块，最大块尺寸 $\le\binom{n}{3}$。
| 组件 | 工具 | 已有 vs 待写 |
|---|---|---|
| $S_n$ isotype 投影器 $\{P_j\}_{j=0}^k$ | Sage sage.combinat.symmetric_group_representations | 已有 |
| Hahn 多项式 $Q_j(t)$ | Sage JohnsonScheme + Bannai-Ito 公式 | 已有 |
| $S_n\wr S_3$ 三元 isotype 分解 | Bachoc-Vallentin 2009 / BGSV 2012 recipe | 已有（手写 ~50 行） |
| Specht / Young 基 | Filmus 2014 公式 | 已有 |
| 4-pt admissibility profile | Polak 2019 Sage 脚本（公开） | 已有，fork |
| Sunflower 三元 indicator + orbit 列举 | 需自写 | ~200 行 Sage（核心待写） |
| SDP 求解器 | CVXPY 1.4 + Mosek 10（学术许可） | 已有；备份 SDPA-DD（$k=7$ 多精度） |
引理 4.1（块对角分解，Bachoc-Vallentin 2009 风格）：sunflower-free family 的 indicator $\chi_\mathcal F\in\mathbb C^X$，level-3 moment 矩阵 $M^{(3)}$ 在 $S_n\wr S_3$ 不变化后分块为
$$M^{(3)}=\bigoplus_{\substack{(j_1,j_2,j_3),\,\mu\vdash 3\\ |K|\in\{0,\dots,k-1\}}} M_{(j_1,j_2,j_3),\mu,|K|},\quad \dim M_{\bullet}\le\binom{n}{3}\cdot \mathrm{poly}(k).$$
引理 4.2（level-3 严格紧于 level-2）：sunflower 谓词 $|A\cap B|=|A\cap C|=|B\cap C|=|A\cap B\cap C|$ 在 level-2 仅以 Bonferroni 松弛 $\sum |A_i\cap A_j|\ge 3|K|$ 出现，level-3 直接命中三元交。从 Hahn 正交性，level-3 比 level-2 多 $\binom{n}{3}-\binom{n}{2}=\Theta(n^3)$ 自由度（$n=6$ 即 +20），strict tighter 几乎必然。
| level-3 SDP 数值 | 解读 |
|---|---|
| $\le 30$ | 显著改进，上界从 51 推到接近 21 下界，P3.a 完全成立 |
| $31\sim 45$ | 中度改进，commit 写论文 |
| $46\sim 50$ | 微弱改进，仅 marginal（仍是首篇 sunflower SDP） |
| $\ge 51$ | 未超组合上界，P3.a 数值半证伪 |
L3.prover_1 + L4.numerical 估期望落点 $[28,42]$ 中位 $\sim 35$；落 $\le 30$ 概率 $\gtrsim 30\%$，落 $\le 42$ 概率 $\gtrsim 60\%$。
$k=2, n=4, r=3$：6 变量 $x_F$ + 4 条 sunflower 不等式 $\sum_{F\in\mathrm{tr}}x_F\le 2$。
linprog HiGHS: LP_opt = 4.000000
brute-force f(2,3) on n=4: 4 (witness C_4 = {01,02,13,23})
Erdős–Ko bound k!(r-1)^k = 8
LP <= EK ? PASS
LP >= true f ? PASS（无积分性 gap）$7\times 7$ moment matrix L=2 lift（rank-1 from $x^*=(1,1,0,0,1,1)$）经 scipy.linalg.eigvalsh 验 PSD（min eig $\approx -2.6\times 10^{-16}$）；4 条 lifted sunflower 不等式刚好 $=1$ 全紧 — L=2 在 $n=4$ 无 gap 可榨（LP 已 tight）。
更大 $k$ 须离开 sandbox 拿 cvxpy + mosek，或预 vendored install scs/picos。这是工程障碍，不是代数障碍。
| 阶段 | 内容 | 预计时间 |
|---|---|---|
| 1 | Fork Polak 2019 Sage 脚本，跑通 4-pt constant-weight code baseline | 1–2 天 |
| 2 | 重写 admissibility：4-pt profile → 3-pt sunflower indicator | 3–5 天 |
| 3 | $k=3, n=6,7,8,9$ Mosek 实跑，输出 $\vartheta_3(3,3)$ 数值 | 1 天 |
| 4 | $k=4, n=8,\dots,12$；$k=5, n=10,\dots$；$k=6$ 边缘 | 3–5 天（Mosek 分钟级） |
| 5 | Dual feasibility 证明：从数值最优解构造显式有理 dual cert（Litjens-Polak-Schrijver 2017 模板） | 1 周 |
| 6 | 论文写作（与 P3.b barrier section 配套） | 2–3 周 |
总：~1.5 个月可达 submission-ready。
cap-set ($\mathbb F_3^n$ 中无 3-AP) 的 Lovász $\vartheta=O(3^n/n)$，真实上界 $2.756^n$（Croot-Lev-Pach + Ellenberg-Gijswijt, polynomial method 2017）。SDP 在指数底数严格次优，gap 是 $1.244^n$ 量级。
Hopkins-Schramm-Trevisan 类工作指出：Lasserre level-$d$ 在 $\mathbb F_3^n$ 上等价于 degree-$d$ pseudo-distribution，而 polynomial method 用的是 degree-$\le n/3$ 的分次精细结构，SDP 任何固定 level 抓不到。
$\binom{[n]}{k}$ 上的 sunflower-free SDP 同样会给 $f(k,r)\le c^k$ 的某个常数 $c$，但 ALWZ/Rao 的 entropy/encoding bound $f(k,r)\le (Cr\log k)^k$ 是分次组合论。
预言：sunflower 上 SDP 同样有 $c^k$ hard floor，无法降到 $(\log k)^k$；gap 将以 $(c/\log k)^k$ 发散。
| 问题 | 谓词元数 | SDP level 起点 | $\vartheta$ 紧性 |
|---|---|---|---|
| EKR (intersecting, $|A\cap B|\ge 1$) | 2 元 | level-1 (Lovász $\vartheta$) | 紧（Schrijver 1979 单层） |
| $t$-intersecting | 2 元 | level-1/2 | 紧 |
| cap-set (3-AP, 3-元) | 3 元 | level-3 | $c^n$ floor，不紧 |
| sunflower-free $r=3$ | 3 元 | level-3 | $c^k$ floor 预言，不紧 |
| sunflower-free $r$-general | $r$ 元 | level-$r$ | 更糟 |
结构原因：
差异：EKR 是 2-design 问题（rank-2 association scheme 紧），sunflower 是 $r$-design 问题（需 $r$-merge $r$-partite 不变量）。
故 P3.b 的 $\vartheta_d(k,3)\le (C\log k)^{k-d+1}$ 形式 结构性不可达，独立于 BHKKMP pseudo-calibration 的具体可行性。
L3.prover_2 尝试把 BHKKMP planted clique pseudo-calibration 移植到 Johnson scheme：
失败模式（三关）：
表面结论：BHKKMP 朴素移植不可行 $\Rightarrow$ pseudo-calibration 没有给出 P3.b 渐近半的 SoS lower bound 证伪。
深层结论：sunflower-free 是 $k$-局部谓词（$r=k$ 才出现违反），degree-$d$ pseudo-moment 即使 $d=O(1)$ 也无法 hide $|F|$ 的 first-moment 偏差。这恰好与 cap-set（3-局部，BKR 2018 成立）形成对照。
反推：意味着 ALWZ $(c\log k)^k$ 上界有可能有 SoS-degree-$d$ 证书，命题 3 渐近半 原则上保留；但 $\vartheta_d(k,3)\le (C\log k)^{k-d+1}$ 中的 $-d+1$ 因子仍未获正面证据。
故：P3.b KILL 不依赖 BHKKMP 朴素移植，而独立由 §5.1–5.3 的 cap-set 双重 barrier 给出。BHKKMP 仅作为补充观察。
不直接废弃 P3.b，而是将其重新定位为：
Theorem (informal)：对任意常数 $d$，存在 $k_0(d)$ 使对所有 $k\ge k_0$，
$$\vartheta_d(k,3)\ge (c\log k)^k\quad\text{或}\quad \vartheta_d(k,3)\ge c^k\text{（指数下界）},$$
即 Lasserre level-$d$ SDP 无法达到 ALWZ $(\log k)^k$ 之下的渐近形式。换言之 SDP 在 sunflower 上有 hard floor $\ge \min((c\log k)^k, c^k)$。
证明思路：cap-set $c^n$ floor 类比的形式化 + $r$-wise 谓词不可 degree-$O(1)$ 编码的图矩阵下界。BHKKMP 移植虽不可行（不是 KILL 工具），但 cap-set polynomial-method-vs-SDP 的范式可移植到 Johnson scheme。
这一改写的好处：
| L4 agent | P3.a 投票 | P3.b 投票 | 关键理由 |
|---|---|---|---|
| L4.numerical | YES | YES_weakened（$(C\log k)^k$ uniform） | 块对角后规模可控；MathSciNet 0 命中即 publication value；SOS-degree barrier + pseudo-calibration NOT_FEASIBLE 双重证据 |
| L4.algebraic | PASS | KILL | 三元 Hahn + $S_n\wr S_3$ block-diag 可实现；cap-set $c^k$ floor + BHKKMP 不可行双向证伪；degree-$O(1)$ SDP 抓不到 $r$-wise |
| L4.analytic | GO | WEAK-GO（重写为 barrier） | level-3 在 $J(n,3)$ 经 Hahn 必严格紧于 LP，落 $[28,42]$ 概率 $\ge 60\%$；P3.b 失去 KILL 证据但也失去正面证据，弱化为 $(C\log k)^k$ uniform |
| L4.adversary | PASS | KILL | 框架首创 + 数值 demo（不是单数据点）；cap-set 双重 barrier 独立于 BHKKMP 即 KILL 渐近 |
P3.a：4/4 一致 PASS。
P3.b：4/4 一致 KILL_or_weakened（adversary + algebraic 直接 KILL；numerical + analytic 投 KILL 但同意改写为 barrier negative result 而非废弃）。
合并执行 = P3.b 改写为 SDP barrier paper section，与 P3.a 配双面故事。
P3.a — PASS：立即启动 SDP 数值实验。Schrijver-Delsarte $S_n\wr S_3$ 块对角化 + Polak 2019 Sage 脚本 fork + Mosek 10 实跑 $k=3,4,5,6$。预计 1.5 个月达 submission-ready；目标 venue: SODA / Combinatorica / J. Combin. Theory B。
P3.b — KILL（rewrite as negative result）：原 $\vartheta_d(k,3)\le (C\log k)^{k-d+1}$ 形式不可达，由 cap-set 双重 barrier 独立证伪（不依赖 BHKKMP 朴素移植）。改写为 "SDP barrier for sunflowers" 章节，与 P3.a 合并为单篇 STOC/FOCS 双面故事。
github.com/svenpolak/SDP-bounds-constant-weight-codes，跑通 4-pt baseline（2 天）。SunflowerAdmissibility module，把 4-pt profile 替换为 $|A\cap B\cap C|$ 三元 indicator + sunflower orbit 列举（5 天，~200 行 Sage）。| 风险 | 等级 | 缓解 |
|---|---|---|
| $\vartheta_3(3,3)\ge 51$（数值未超组合上界） | 低（$\sim 10\%$） | 仍是首篇 sunflower SDP；扩到 $k=4,5,6$ 看一致性；落 $[40,50]$ 仍可发 |
| Mosek 数值精度不足（dual cert 失败） | 中 | 切 SDPA-DD 多精度；接受数值上界（无 dual cert）作为弱版本 |
| $S_n\wr S_3$ 三元 isotype 6j 系数手算错 | 中 | 用 Sage RacahWilsonAlgebra 符号验证；交叉对照 Bachoc-Vallentin 2009 已发布的 kissing number 表 |
| P3.b barrier 形式化卡在 cap-set BKR 2018 的 Johnson 类比 | 中-高 | 退路：保留 BHKKMP 移植失败 + cap-set $c^k$ 类比作为 informal evidence；论文中 P3.b 部分放成 conjecture + 部分证据，不强求完整定理 |
work/sunflower-proposition3_lasserre_sdp.html/tmp/sunflower_brainstorm/prop3/L1P1_{A,B,C,D,E}_*.md/tmp/sunflower_brainstorm/prop3/L1_ranker.md/tmp/sunflower_brainstorm/prop3/L1_sentinel.md/tmp/sunflower_brainstorm/prop3/L2_{search,reader}.md/tmp/sunflower_brainstorm/prop3/L3_*.md/tmp/sunflower_brainstorm/prop3/L4_*.md/tmp/sunflower_brainstorm/prop3/decision_log.mdP3 是 Sunflower 项目（research/combinatorics.html §13）的凸优化路径，与 §13.6 entropy 主线（ALWZ / Rao）互补：