Template 2 v2 · L1–L5 约 20 agent · 2026-05-24
命题 1 v2（Keiper-Li 密度约束：无条件正性框架）
设 $A \leq 3/2$，且 $N(\sigma,T) \leq C(\varepsilon)\cdot T^{A(1-\sigma)+\varepsilon}$ 对所有 $\sigma \in (1/2, 1)$ 及 $\varepsilon > 0$ 成立（Ingham–Huxley 零密度估计）。设 $T_{\mathrm{ver}}$ 为已数值验证 Riemann $\zeta$ 函数非平凡零点均在临界线的高度上界（当前 $T_{\mathrm{ver}} = 3\times10^{12}$，Platt-Trudgian 2021）。设 $c_{\mathrm{crit}} \geq 2/5$ 为临界线零点密度比例下界（Conrey 1989）。
则存在仅依赖 $A$、$\varepsilon$ 的正常数 $C_1(A,\varepsilon)$（由零密度定理隐含常数决定），使得对所有 $$n \geq N_0(A) := \exp\!\left(\frac{8C_1(A,\varepsilon)}{c_{\mathrm{crit}}} \cdot T_{\mathrm{ver}}^{A/2-1+\varepsilon}\right),$$ 有 $\lambda_n > 0$。
推论（条件性数值实例）：若 $C_1(3/2, \varepsilon_0) \leq 10^3$（某具体 $\varepsilon_0 > 0$），则 $N_0(3/2) \leq 3$，即 $\lambda_n > 0$ 对所有 $n \geq 3$ 成立。
注记：此命题不假设 RH。$S_{\mathrm{crit}} \geq (c_{\mathrm{crit}}/8)\cdot n\log n$ 无条件成立；$S_{\mathrm{off}}$ 的控制依赖 $C_1$ 的显式化，构成命题的唯一待完成部分。
命题 1 的核心方法论贡献是将 $\lambda_n$ 分解为：
$$\lambda_n = S_{\mathrm{crit}} + S_{\mathrm{off}}$$其中 $S_{\mathrm{crit}}$ 仅依赖临界线零点，$S_{\mathrm{off}}$ 仅依赖偏离零点（若存在）。两项分别给出下界和上界。
对所有临界线零点 $\rho_k = 1/2 + i\gamma_k$，有 $|1 - 1/\rho_k| \equiv 1$（因为 $|\rho_k - 1|^2 = |\rho_k|^2 = 1/4 + \gamma_k^2$），即 $z_k := 1 - 1/\rho_k$ 在单位圆上游走。高频区的 $1 - \cos(n/\gamma_k) \geq n^2/(4\gamma_k^2)$ 下界，通过 Conrey 密度无条件累积，给出： $$S_{\mathrm{crit}} \geq \frac{c_{\mathrm{crit}}}{8} \cdot n \log n \quad \text{（无条件，依赖 Conrey 2/5）}$$
Abel 求和完成后，得到： $$|S_{\mathrm{off}}| \leq C_1(A,\varepsilon)\cdot n \cdot T_{\mathrm{ver}}^{A/2-1+\varepsilon}$$ 其中 $C_1$ 来自 Ingham（1940）、Huxley（1972）等的渐近结果——当前所有版本均使用 $\ll$ 符号，需执行 Kadiri-McCurley 类型的显式化计算（约 20–40 页独立工作）。
唯一关键阻断：G4 — 零密度定理 $N(\sigma,T) \ll C(\varepsilon)\cdot T^{A(1-\sigma)+\varepsilon}$ 的隐含常数 $C(\varepsilon)$ 未被任何现有文献显式量化。
技术路线：以 Kadiri（2002）对零点无关区域的显式化方法为模板，对 Ingham 型零密度定理 $N(\sigma,T) \leq C_0(\varepsilon)\cdot T^{3(1-\sigma)/2}\cdot(\log T)^B$ 执行显式化。完成后代入 $C_1/c_0\cdot T_{\mathrm{ver}}^{-1/4}$，若此值 $< 1$，则命题对所有 $n \geq 3$ 成立。
次要 gap（均可修复，非阻断）：
| 量 | 值 | 说明 |
|---|---|---|
| $T_{\mathrm{ver}}$（零点验证上界） | $3\times10^{12}$ | Platt-Trudgian 2021 |
| $c_{\mathrm{crit}}$（临界线零点密度比例） | $\geq 2/5$ | Conrey 1989，无条件 |
| $T_{\mathrm{ver}}^{A/2-1}$（$A=3/2$） | $\approx 7\times10^{-4}$ | N₀ 退化关键量 |
| $N_0(A)$ 在 $C_1 \leq 10^3$ 时 | $\leq 3$ | 推论：$\lambda_n > 0$ for $n \geq 3$ |
| Huxley 零密度指数 $A$ | $3/2$ | Huxley 1972，当前最优 |
| 优先级 | 任务 | 工作量估计 |
|---|---|---|
| 1（必须） | 对 $N(\sigma,T)$ 执行 Kadiri-McCurley 类型的显式化计算，得到 $C_1(A,\varepsilon)$ 的具体数值上界 | 约 20–40 页 |
| 2（同步） | 精确化命题陈述：区分（a）无条件框架定理与（b）条件性数值实例两层 | 约 5 页 |
| 3（修订） | 补充"低频区贡献 ≥ 0 安全丢弃"的显式论证；澄清 Chen 2025 仅适用于 Dirichlet $L$ 函数族 | 约 2 页 |
| 不建议 | 试图用零密度估计给出 $\lambda_n \geq c_0 n\log n$ 的显式下界（强形式）——需控制 $S_{\mathrm{off}}$ 的实部符号，零密度工具属于"粗粒度"方法，不适合精确确定符号 | — |