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命题 3 — Bateman–Horn 奇异级数对 $\{2^p - 1\}$ 严格正

深入研究：发散 → 文献 → 研究主体 → 4 类专家评议 → GO/NO-GO

0. 命题陈述

对 $F(p) = 2^p - 1$，证明不存在素数 $q$ 使 $2^p \equiv 1 \pmod q$ 对所有素数 $p$ 同时成立（即无局部阻塞），从而 Bateman–Horn 奇异级数

$$\mathfrak{S} \;=\; \prod_q \bigl(1 - \omega(q)/q\bigr)\bigl(1 - 1/q\bigr)^{-1} \;>\; 0.$$

其中 $\omega(q) = \#\{a \pmod q : F(a) \equiv 0 \pmod q\}$。定位：无条件可攻；初步工具初等同余分析 + Zsygmondy 定理。意义：是"假设有限 $\Rightarrow$ 矛盾"框架最坚实的一步；作为独立短文，自洽完整，可立即动笔。

1. 发散层

5 个角度并行（L1.sentinel 由角度 E 数值实验合并）。

角度	核心结论	status
A 直接初等	2 步反证：$q \mid M_2 = 3 \Rightarrow q = 3$，再 $q \mid M_3 = 7$ 矛盾。不需要 Bang–Zsygmondy。$a = 2$ 的特殊性：$a - 1 = 1$ 无素因子。一般 $a^p - 1$（$a \geq 3$）则 $a - 1$ 的素因子构成"永远整除"的 $q$，奇异级数会退化为零。	ok
B BH 框架适配	BH 1962 原始陈述只对多项式族；指数族 $2^p - 1$ 无现成定理。Wagstaff 1983 是启发式不是严格 BH 推广。	warn
C 局部密度	BH 标准定义：$\omega(q) = (q-1)/\ell(q)$，因 $\ell(q) \geq 2$ 故 $\omega(q) \leq (q-1)/2 < q$ 结构性恒成立。	ok
D 收敛性	定义 A（$\omega \in \{0, 1\}$，限 $p$ 素）：乘积发散 $\to +\infty$。定义 B（标准 BH）：乘积收敛 $\to \sim 0.005$（被 Mertens 定理压向 $0^+$）。两者都 $> 0$ 但行为不同。	ok
E 数值	sympy 跑前 10000 素数。定义 A：$S_{10000} \approx 9.7$，比 Wagstaff 常数大 3.78x。定义 B：$\sim 0.025$。无任何因子 $\to 0$。$q = 2$ 因子单独贡献 $\geq 2$。	ok

2. 分析层

因网络限制 arxiv 下载未跑（pypi 临时不可用），但已识别关键文献：

• Bateman & Horn 1962, Math. Comp. 16, 363–367 — 奇异级数原始框架（仅多项式族）。
• Wagstaff 1983, Math. Comp. 40, 385–397 — 指数 BH 最权威启发式（非定理），给 $\Pr(2^p - 1 \text{ 素}) \approx 2 e^\gamma / (p \log 2)$。

3. 执行层：完整证明 + 数值

3.1 第一部分（无局部阻塞）— 严格完整

反证：假设素数 $q$ 整除所有 $2^p - 1$（$p$ 素）。取 $p = 2$ 得 $q \mid 3$，故 $q = 3$；取 $p = 3$ 得 $3 \mid 7$，矛盾。$\blacksquare$

根本原因：$a = 2$ 使 $a - 1 = 1$ 无素因子，故不存在"永久整除"的 $q$。

3.2 第二部分（奇异级数 $\mathfrak{S} > 0$）— 取决于定义

定义 B（BH 标准）：$\omega(q) = (q-1)/\mathrm{ord}_q(2)$，$\omega(2) = 0$。

每个局部因子

$$\frac{q - \omega(q)}{q - 1} \;=\; \frac{q - (q-1)/\ell(q)}{q - 1} \;\geq\; \frac{(q+1)/2}{q - 1} \;>\; 0,$$

因 $\ell(q) \geq 2$。无零因子 ↔ 无局部阻塞，两部分严格对应。

3.3 数值结果（$N = 10000$ 素数）

$N$	定义 B：$\mathfrak{S}_N$	定义 A：$\mathfrak{S}_N^A$
1000	0.123	7.66
5000	0.044	9.10
10000	0.025	9.71

程序：reference_mersenne_research/prop3/code/L1_sentinel.py；log：logs/L1_sentinel.log。

3.4 对手反驳记录（L3.advocate）— CHALLENGE

4. 审核层：4 类专家评议 — fixable

• 解析：定义 A 下 $\mathfrak{S}$ 发散到 $+\infty$，不是"有限正常数"；与 Wagstaff 常数关系需澄清。
• 代数：两个定义代数上不同，必须显式锁定。BH 原框架不覆盖指数族，需独立声明。
• 数值：L1.E 计算可信（$S_{10000} \approx 9.7$，严格正）；与 L1.C 的 $\sim 0.025$ 巨大差异是定义不统一的直接后果。
• 对手：子命题 (a) 无局部阻塞是两行反证；(b) $\mathfrak{S} > 0$ 在定义 A 下"比平凡还平凡"。实质数学内容稀薄。

4.5 综合判定：fixable

5. 总结层

5.1 是否解决 Mersenne 无穷？

否。命题 3 与 Mersenne 无穷的桥梁是 Bateman–Horn 启发式：若 $\mathfrak{S} > 0$ 且 BH 推广严格成立 $\Rightarrow$ Mersenne 无穷。但BH 对指数族严格成立本身是开放问题（强于 Schinzel H），命题 3 仅给出"无局部阻塞"这个最弱前提。

5.2 Gap

• Gap A：BH 对指数族严格成立 — 这本身是大开放问题，命题 3 无法触及。
• Gap B：定义 A vs B 的语义差异 — 没有标准选择。

5.3 发现的新东西

• $a = 2$ 的奇异性：$a - 1 = 1$ 是无局部阻塞的结构性原因。$a \geq 3$ 时奇异级数会因 $a - 1$ 的素因子退化为零 — 这是命题 3 的"为什么 Mersenne 数特殊"的精确解释。
• BH 标准定义下 $\mathfrak{S}_N \to 0^+$（被 Mertens 压），而 Wagstaff 常数 $e^\gamma / \log 2$ 是归一化后的极限 — 两个对象不同，需要明确区分。

5.4 下一步建议

• 命题 3 可以独立写成 $\sim 2$ 页的笔记，作为命题 4 框架的引理。不要试图扩展为完整 BH 推广（超出现有工具）。
• 把"$a - 1$ 退化"观察写成一节独立讨论 — 这是教育价值高的内容。
• 转向命题 4（Chebotarev 反证）— 命题 3 是它的前置组件。

5.5 决策：weak-GO（限独立笔记 / 引理用途）