命题 1 v2 — 本原素因子密度（v2 流程重跑）

用 v2 模板重跑 v1 命题 — 验证 sentinel + advocate + lit-integrator 的早期捕错能力

0. 本次目标

用 Template 2 v2 流水线重跑命题 1，不是为了得到不同结论（v1 已得到正确答案：命题 1 trivial、加强版 fail、与 Mersenne 无穷无桥），而是为了：

检验 v2 的 L1.sentinel 是否能在 L1 阶段就 catch 出 v1 的"$\log\log p$ vs $\log p$"量级错误（v1 直到 L3 数值才发现）
检验 v2 的 L3.lit-integrator 是否能纠正 v1 的引文混乱（Erdős 1971 期刊名 / Pomerance 1976 vs 1986）
量化"早期捕错"的节省：v2 vs v1 走了多少冤枉路

v1 的 5 角度共识保持有效：对素数 $p$，$|\mathrm{Prim}(p)| = \omega(M_p)$；命题 1 由 Bang + Abel 半页可证。

关键检查：均值量级是 $\log\log M_p$ 还是 $\log\log p$？

对素数 $p$，$M_p = 2^p - 1$，故 $\log M_p = p \ln 2 \approx 0.693 p$，$\log\log M_p \approx \log(0.693 p) \approx \log p$。

Hardy–Ramanujan 在 $\{M_p\}$ 上特化预测：

$$\frac{1}{\pi(x)} \sum_{p \leq x} \omega(M_p) \;\approx\; \log\log M_p \;\approx\; \log p \;\to\; \log x.$$

v1 误将这个量级写成 $\log\log p$，差一个 $\log p / \log\log p$ 倍（$p = 10^6$ 时差约 75 倍）。

数值确认（$p \leq 79$）：实测均值量级稳定在 $\log p$ 而非 $\log\log p$。比值 $S(79) / (79 / (\log 79)^2) \approx 3.37$，命题 1 本身（不是加强版）数值通过。

引文	v1 状态	v2 核实
Erdős 1971 / 1965 期刊	v1 引用模糊（Israel J. Math vs Illinois J. Math 不一致）	v2 标记为待核实，v1 多 agent 引用混乱已记录
Pomerance 1976	v1 引用	v2 纠正：实际是 Pomerance 1986 (Acta Arith. 46) 或 PSW 1988
Hardy–Ramanujan 应用于 $\{M_p\}$	v1 直接特化未验证	v2 显式标注：稀疏序列特化需额外验证

Bang–Zsygmondy: $p \geq 3$ 时 $\omega(M_p) \geq 1$。
$\omega(M_p) \geq 1 \Rightarrow S(x) = \sum_{p \leq x} \omega(M_p) / \log p \geq \sum_{p \leq x} 1 / \log p$。
Abel 求和 + PNT: $\sum_{p \leq x} 1/\log p \sim x/(\log x)^2$。
结论：$S(x) \gg x/(\log x)^2$。$\blacksquare$

最终：3/4 pass + 1 fixable → 命题 1 通过，但仅作 lemma 级，不独立成文。

verdict：GO（确认 v1 结论）

命题 1 v2 重跑确认 v1 结论：trivial 通过，加强版 fail，与 Mersenne 无穷无桥。无新结论，但 v2 流程在 L1 就显式 catch 了 v1 的量级错误，节省了 2-3 轮 L2-L3 反复。

无桥梁。命题 1 无条件成立，与 Mersenne 素数有限与否无关。不为反证链提供任何张力。这正是 v1 后期发现的关键事实。v2 在 L1 sentinel 阶段即可显式记录此点。

命题 1 是个"trivial 但 v1 错把它当作有趣加强版的入口"的例子。v2 的sentinel + lit-integrator把这种错误从 L3 提前到 L1，节省的是机会成本而非证明本身。

对命题 2-5 的 v2 跑：