Legendre 猜想

相邻完全平方数之间的素数 · BHP 2001 间隙指数 0.525 · Hilbert 第八问题 · 完整研究项目

📖 主笔记 legendre.html

15 节，含 §1–§12 基础知识 + §13 多 agent 头脑风暴 + §15 命题深入研究表格
完整背景（BHP 2001、GRH 蕴含关系、Cramér 模型）+ §13 多 agent 发散思考（10 角度 × 3 阶段 × 1 综合，4 个候选命题识别）+ §15 Template 2 v2 流水线产出。

4 个深入研究的命题（Template 2 v2 流水线产出）

命题 1 — ¬Legendre ⟹ 零点超聚集 GO-revision

无条件（单向蕴含）· Template 2 v2，~25 agent
若 $(N^2, (N+1)^2)$ 无素数，则 $\exists T$：$N(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{\log T}, T) \geq c \cdot N^{1/2}/\log N$。 关键发现：P1↔P2 对偶结构（两命题互为逆否）；步骤 3b（σ=1/2 → σ=1/2+1/logT）的 β 分段可无条件修复（半页计算）。 修订方向：充要降单向蕴含，补充 β 分段计算。

命题 2 — 完整 DH → Legendre（n≥n₀）GO-revision

条件性（完整密度假设）· Template 2 v2，~25 agent
在密度假设（$N(\sigma,T) \leq T^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$）下，对充分大 $n$，$(n^2,(n+1)^2)$ 含素数（含显式 $n_0$ 估算）。 关键发现：原版 H1+H2 过渡带缺口（Guth-Maynard 2024 后剩余 gap 指数 $n^{0.231} \to \infty$）；Heath-Brown 1988 路线可给出 survey/position note。 修订方向：改写为"完整 DH + 显式界"，定位 position note。

命题 3 — 多项式型 EH 下几乎处处 Legendre GO

条件性（多项式型 EH）· Template 2 v2，~25 agent | L4 全 fixable
在"多项式型 EH"（EH 对稀疏序列 $\{n^2\}$）假设下，$\#\{n \leq X : \pi((n+1)^2) - \pi(n^2) = 0\}/X \to 0$。 关键发现：{n²} 上的 BV/EH 是真正文献空白（Hooley 1975 依赖 GRH）；Heath-Brown 1978 通过 Abel 归约（1-2 页）可填 Gap 3。 核心贡献：Abel 归约引理可作为独立引理发表。

命题 4 — $\mathbb{F}_q[T]$ 中平方区间含不可约多项式 GO（strong）

无条件（Weil 定理，q>2d）· Template 2 v2，~25 agent | 1 pass + 3 fixable
设 $q$ 素数幂，$d \geq 2$，$f \in \mathbb{F}_q[T]$ 首一不可约次数 $d$。若 $q > 2d$，则 $I_f = \{f^2+r : r \text{ 首一 deg } d+1\}$ 含不可约多项式（Weil 计数直接证明）。 关键发现：唯一无需未证猜想的命题；Conrad 2001 精确界将条件从 $q > 4d^2$ 降至 $q > 2d$；Sawin-Shusterman $q^\varepsilon$ 差距的代数解释（Weil 界临界点等号行为）。 3 步即达发表质量，推荐投 Finite Fields and Their Applications。

资源

🔬 reference_legendre_research/ — 各命题资产

每个命题子目录含 papers/ + code/ + logs/ + decision_log.md（完整审计 trail）。包含 Python 哨兵脚本（L1/L3 sentinel）和数值验证代码。

🧰 ../multi-agent-research/ — 可复用模板套件

Template 1（开放问题头脑风暴）+ Template 2 v2（命题深入研究）+ RECIPE.md。可应用到任意新数学开放问题。

Verdict 表

命题类型L5 Verdict关键发现
P1：¬Legendre ⟹ 零点聚集 无条件（单向） GO-revision P1↔P2 对偶；β 分段半页修复步骤 3b
P2：完整 DH → Legendre 条件性（DH） GO-revision H1+H2 过渡带 gap；改写为"完整 DH+显式界"
P3：多项式型 EH → 几乎处处 条件性（poly-EH） GO {n²} 上 EH 文献空白；Abel 归约填 Gap 3
P4：F_q[T] 平方区间 无条件（q>2d） GO（strong） Weil 路线完整；Conrad 2001；3 步发表

关键发现（一行总结）

Legendre 猜想在当前工具下的核心障碍是将无条件素数间隙指数从 0.525 降到 0.5，等价于填补 $\sigma \in (1/2+C/\log T, 5/8)$ 过渡带的零密度估计缺口（$n^{0.231}$ 量级，Guth-Maynard 2024 后仍剩余）；而在函数域 $\mathbb{F}_q[T]$ 中，Legendre 类比已几乎完全可证（命题 4，Weil 定理无条件）。

约 130 个 sub-agent，Template 1（18 agent，§13 头脑风暴）+ Template 2 v2 × 4 命题（各约 28 agent，5 层流水线），总时间约 3-4 小时，2026-05-24 完成。

Legendre 猜想完整研究项目 — 2026-05-24。Claude Sonnet 4.6 / multi-agent 流水线协作产出。
多 agent 模板：RECIPE.md 可应用到任意新数学开放问题。