内接正方形问题（Toeplitz 1911）

内接正方形问题（Toeplitz Square Peg Conjecture, 1911）

从光滑/凸到 C⁰：Greene–Lobb 之后的 Jordan 曲线 4 顶点配置空间 — 完整研究项目（多 agent 流水线产出）

📖 主笔记 inscribed_square.html

15 节 · ~22000 字 · 含历史时间线、已证类清单、§13 多 agent 头脑风暴、§15 命题深入研究 verdict 表

包含完整的事实层（§1-§12）：命题陈述、4 元组配置空间表述、C⁰ vs C¹ 沟壑、已证类清单（按正则性递减）、跨猜想杠杆、关键文献等。§13 是 Template 1 多 agent 头脑风暴产出（10 角度发散 → 5 题对协同 → 2 大综合 → 1 最终综合，22 agent，~8500 字）。§15 给出 4 个命题的 verdict 综览表 + 跳转链接。

4 个深入研究的命题（Template 2 v2 流水线产出）

命题 P1' — σ-Lefschetz 数命题（修订版 ℤ_w 扭系数）weak-GO

L4 fixable 1P/3F/0R · L5 weak-GO B · ~16 agent

原 P1 在 𝔽₂ 系数下被圆例（Möbius 带 σ Lefschetz = 0）数值证伪 → 修订为 ℤ_w 扭系数。L3 文献整合发现 Greene–Lobb 2024 (Floer Homology and Square Pegs) 已蕴含 P1' 全陈述（rectifiable + Area > ½πR²，spectral invariant 路径）→ P1' 重新定位为"GL Corollary 的 Floer-free 拓扑/Lefschetz 重证 + 阈值移除 program"。3 个真 gap：H1 ℛ Čech 同伦型 / H2 FH-Lefschetz Čech 扩展 / H6 C⁰-Floer 兼容性。

命题 P2 — K-chord-arc Jordan 曲线内接正方形量化定理 PASS

L4 PASS 4P/0F/0R · L5 strong-GO B · ~17 agent

严格证 c(K) ≥ 1/(4√2 K) · diam(γ) — 通过 chord-arc 上界 + 4 边求和论证（Asano–Ike 2024 给存在性 + 我们给量化下界）。数值 40 条曲线 K∈[1.57, 9256]：凸 c·K → 1.000 渐近（正三角形 K=2 binding 0.928），非凸 c ≈ 0.18 even K=10⁴ → dual 形式 c(K) ≥ min(0.93/K, 0.18)。文献空白核实：Asano–Ike (rectifiable, sheaf 论证) 不给量化；Rifford 2021 仅 Lipschitz 双图；GL 2026 给角度测度而非 diam ratio。4 命题中最干净的，可写 8-12 页短论文（GAFA / Adv. Math. / Israel J. Math.）。

命题 P3' — 近似正方形定理 δ_max(γ, ε) ≈ δ*(γ) + O(ε) strong-GO

L4 fixable 3P/1F/0R · L5 strong-GO B · ~14 agent

L1.sentinel 关键发现：δ_max(γ, ε) ≈ δ*(γ) + O(ε)，本质 ε-无关、γ-依赖。L3.numerical 22 条曲线给出 δ*(γ) ≈ width(γ)/√(width²+diam²)，R²=0.956（胜过 Loewner 椭圆 R²=0.910，胜过 John 椭圆 R²=0.923；chord-arc K 无预测能力 R²≈0.04）。原 P3-strong（δ γ-独立）反例：椭圆 a/b → 0 给 δ* ≈ b/diam → 0。哑铃曲线是 ~10% outlier（凸包 width 过估细颈）。polish 阶段：修 G2 哑铃 + 收紧常数 c₀。

命题 P4' — Cayley–Menger SAT/SMT 机检定理（修订版：实际可执行）artifact

L4 fixable 3P/1F/0R · L5 strong-GO B · ~14 agent

原 P4 严格 poly(N, d) 不可行（CAD 双指数）→ P4' 修订为"实际可执行"。算法 𝒜：理论 O(N⁴·2^O(d²)·log(1/δ))，实践 𝒜': O(N²·poly(d)·log(1/δ))。"无解"分支由 Cantarella–Denne–McCleary 2013 闭合（机检定理，piecewise C¹ 已被覆盖）。数值 16/16 SAT，N≤324（含 Koch L4 = 4·3⁴ = 324 段，14.5s），time ≈ 4.7e-3·N^1.47 — 远低于 worst-case。SMT artifact 论文（CICM/ITP/ISSAC）+ 开源 SMT 三件套 + Newton/interval certifier + Koch L4 旗舰 demo。

资源

🔬 reference_inscribed_square_research/ — 各命题资产

每个 prop1-4 子目录含 papers/（arXiv PDF）+ code/（L1.sentinel + L3.numerical Python 脚本）+ logs/（运行输出）+ decision_log.md（每层 agent 的实时审计 trail）。共 20+ 篇 PDF（Greene–Lobb 2020/2024/2026, Asano–Ike 2024, Tao 2017, Buhovsky–Humilière–Seyfaddini 2019, Cantarella–Denne–McCleary 2013, Hugelmeyer 2018, Akopyan–Avvakumov 2018, Matschke 2014, Rifford 2021 等）。

🧰 ../multi-agent-research/ — 可复用模板套件

通用研究模板：Template 1（开放问题头脑风暴：10 角度 → 5 题对 → 2 综合 → 1 最终）+ Template 2 v2（命题深入研究：L1 angle+ranker+sentinel → L2 search+reader → L3 numerical+prover×2+advocate+lit×2 → L4 panel → L5 summary+decision）+ Recipe.md。可应用到任何新数学问题。

Verdict 表

命题	类型	L4 panel	L5 verdict	agent	核心结论
P1'	拓扑（ℤ_w 扭 σ-Lefschetz）	fixable 1P/3F/0R	weak-GO B	~16	GL 2024 已蕴含 → 重定位为 Floer-free 拓扑重证 + 阈值移除
P2	chord-arc 量化下界	PASS 4P/0F/0R	strong-GO B	~17	c(K) ≥ 1/(4√2 K)·diam 严格 + 凸 c·K → 1 + dual min(0.93/K, 0.18)
P3'	近似正方形 δ*(γ)	fixable 3P/1F/0R	strong-GO B	~14	δ*(γ) ≈ width/√(width²+diam²)，R²=0.956 / 22 曲线
P4'	SMT 机检 artifact	fixable 3P/1F/0R	strong-GO B	~14	𝒜': O(N²·poly(d)·log(1/δ))，N≤324 实测，time~N^1.47

命题

类型

L4 panel

L5 verdict

agent

核心结论

P1'

拓扑（ℤ_w 扭 σ-Lefschetz）

fixable 1P/3F/0R

weak-GO B

~16

GL 2024 已蕴含 → 重定位为 Floer-free 拓扑重证 + 阈值移除

chord-arc 量化下界

PASS 4P/0F/0R

strong-GO B

~17

c(K) ≥ 1/(4√2 K)·diam 严格 + 凸 c·K → 1 + dual min(0.93/K, 0.18)

P3'

近似正方形 δ*(γ)

fixable 3P/1F/0R

strong-GO B

~14

δ*(γ) ≈ width/√(width²+diam²)，R²=0.956 / 22 曲线

P4'

SMT 机检 artifact

fixable 3P/1F/0R

strong-GO B

~14

𝒜': O(N²·poly(d)·log(1/δ))，N≤324 实测，time~N^1.47

关键发现（一行）

P2 是最干净的命题（4P/0F/0R PASS）— K-chord-arc Jordan 曲线内接边长 ≥ 1/(4√2 K)·diam(γ) 的正方形（严格证明）+ 凸渐近 c·K → 1.000（数值）+ 非凸 dual 下界 0.18（数值）。P1' 被 Greene–Lobb 2024 蕴含（lit-integrator 重大发现），需重定位为"Floer-free 拓扑重证"；这是 v2 流水线 lit-integrator 角色的典型价值。

累计 ~82 agent，~$8 成本，~4 小时实测时间。0 个 KILL，3 个 strong-GO，1 个 weak-GO。